Conjecturar uma coisa é medir a sua probabilidade. Por isso definimos a arte de conjecturar, ou estocástica, como a arte de medir o mais exatamente possível as probabilidades das coisas, para que, nos nossos juízos e ações, possamos sempre escolher ou seguir aquilo que nos pareça melhor, mais satisfatório, mais seguro ou mais ponderado.

— Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV

Em 1654, Pascal e Fermat trocaram cartas sobre como dividir o dinheiro de um jogo interrompido. Em 1657, o holandês Christiaan Huygens publicou um livrinho de quinze páginas sobre os cálculos dos jogos de dados. Eram problemas de salão: dados, cartas, apostas.

Jakob Bernoulli queria muito mais. Para ele, a probabilidade era uma medida da certeza, um número entre 0, o impossível, e 1, o certo, que serviria para julgar testemunhos num tribunal, prever quanto tempo uma pessoa vai viver, avaliar um seguro ou decidir se um remédio funciona. Passou vinte anos escrevendo o livro que mostraria como. Chamou-o Ars conjectandi, “A arte de conjecturar”.

Folha de rosto da Ars conjectandi, publicada em Basileia em 1713, oito anos depois da morte de Jakob.
Folha de rosto da Ars conjectandi, publicada em Basileia em 1713, oito anos depois da morte de Jakob.Wikimedia Commons · domínio público

Um livro em quatro partes

A Ars conjectandi tem quatro partes. A primeira reproduz o livro de Huygens, com comentários de Jakob que são maiores que o original. A segunda é um curso completo de combinatória: permutações, combinações e, no meio delas, as somas de potências que hoje levam o nome de Jakob. A terceira aplica tudo a dezenas de jogos. A quarta, inacabada, trata da probabilidade na vida civil, moral e econômica, e é ali que está o teorema de ouro.

O ensaio de Bernoulli

A ideia mais simples do livro virou uma das mais usadas da estatística. Imagine uma experiência com só dois resultados possíveis: a moeda dá cara ou não, o paciente se cura ou não, a peça sai com defeito ou não. Um dos resultados é chamado de sucesso, com probabilidade $p$, e o outro de fracasso, com probabilidade $q=1-p$. A palavra é só um rótulo: numa fábrica, o “sucesso” contado pode ser encontrar um defeito.

Hoje uma experiência assim se chama ensaio de Bernoulli. A pergunta de Jakob era: repetindo o ensaio $n$ vezes, sempre nas mesmas condições e sem que um resultado influencie o outro, qual é a probabilidade de obter exatamente $k$ sucessos?

A fórmula, passo a passo

Comece com um caso pequeno. Um dado é lançado 3 vezes, e “sucesso” é tirar um 6, com $p=\frac16$. Qual é a chance de exatamente dois 6?

Uma sequência possível é 6, 6, outro. A sua probabilidade é o produto das chances de cada lançamento:

$$\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac5{216}.$$

Mas há outras ordens com dois 6: 6, outro, 6 e outro, 6, 6. Cada uma tem a mesma probabilidade, $\frac5{216}$, porque os mesmos fatores aparecem em outra ordem. São 3 ordens, então

$$P(\text{dois 6})=3\cdot\frac5{216}=\frac{15}{216}\approx6{,}9\%.$$

O número de ordens é o número de maneiras de escolher quais lançamentos dão sucesso: escolher 2 entre 3, ou $\binom32=3$. No caso geral, cada sequência com $k$ sucessos e $n-k$ fracassos tem probabilidade $p^kq^{n-k}$, e há $\binom nk$ delas. Somando:

$$\boxed{P(k\text{ sucessos em }n\text{ ensaios})=\binom nk\,p^k\,q^{n-k}}$$

Os coeficientes $\binom nk$ são os números do triângulo de Pascal, e as probabilidades são os termos do desenvolvimento de $(p+q)^n$. Por isso a fórmula se chama distribuição binomial. Como $p+q=1$, a soma de todas as probabilidades é $(p+q)^n=1$, como deve ser.

Um problema de Huygens

Na primeira parte, Jakob comenta uma pergunta do livro de Huygens: quantas vezes é preciso lançar um dado para que a chance de sair pelo menos um 6 passe de metade? A conta é mais fácil pelo outro lado. A chance de nenhum 6 em $n$ lançamentos é $\left(\frac56\right)^n$, então

$$P(\text{pelo menos um 6})=1-\left(\frac56\right)^n.$$

Com $n=3$, dá $1-\frac{125}{216}\approx42\%$. Com $n=4$, dá $1-\frac{625}{1296}\approx51{,}8\%$. Quatro lançamentos bastam. Era exatamente a aposta do cavaleiro de Méré que tinha motivado as cartas de Pascal e Fermat.

Exercício: num teste de 10 questões com 4 alternativas cada, qual é a chance de acertar exatamente 5 chutando todas?

Cada questão é um ensaio com $p=\frac14$ e $q=\frac34$. Então

$$P=\binom{10}5\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5=252\cdot\frac{3^5}{4^{10}}=252\cdot\frac{243}{1\,048\,576}\approx5{,}8\%.$$

O mais provável, chutando, é acertar 2 questões: $\binom{10}2\frac{3^8}{4^{10}}\approx28{,}2\%$.

Exercício: um casal planeja quatro filhos. Supondo chance 1/2 para cada sexo, o que é mais provável: dois meninos e duas meninas, ou três de um sexo e um do outro?

Dois e dois: $\binom42\frac1{16}=\frac6{16}$. Três de um sexo e um do outro: há $\binom43=4$ maneiras de ter três meninos e outras 4 de ter três meninas, ou $\frac8{16}$. O caso “desequilibrado” é mais provável, ao contrário do que a intuição costuma dizer.

Fontes: Jakob Bernoulli, The Art of Conjecturing, tradução e introdução de Edith Dudley Sylla (Johns Hopkins, 2006) · Anders Hald, A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750 (Wiley, 1990) · biografia de Jacob Bernoulli, MacTutor.

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