Exercícios do capítulo 6 — Perpendicularidade

Se $\overline{AH}$ é altura relativa ao lado $\overline{BC}$ do $\triangle ABC$, determine $\hat{B}$ e $\hat{C}$ nos casos:

Em cada caso abaixo temos um triângulo isósceles de base $\overline{BC}$. Determine o ângulo da base.

No triângulo $ABC$ da figura, se $\overline{AH}$ é altura e $\overline{BS}$ é bissetriz, determine $B\hat{S}C$, dados $B\hat{A}H = 30^{\circ}$ e $A\hat{C}B = 40^{\circ}$.

Da figura, sabemos que $\overline{AH}$ é altura e $\overline{AS}$ é bissetriz relativas a $\overline{BC}$ do triângulo $ABC$. Se $\hat{B} = 70^{\circ}$ e $H\hat{A}S = 15^{\circ}$, determine $\hat{C}$.

Determine o valor de $x$ nos casos:

Demonstre: dois ângulos de lados respectivamente perpendiculares são congruentes ou suplementares.

Na figura (à esquerda), calcule o valor de $x$.

Na figura acima (à direita), calcule o valor de $x$.

Na figura, determine a medida de $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$.

No triângulo $ABC$ da figura, $\hat{B} = 60^{\circ}$ e $\hat{C} = 20^{\circ}$. Qual o valor do ângulo $H\hat{A}S$ formado pela altura $\overline{AH}$ e a bissetriz $\overline{AS}$?

Num triângulo isósceles $ABC$ de base $\overline{AB}$, o ângulo $\hat{B}$ é igual a $\dfrac{2}{3}$ do ângulo $\hat{S}$, formado pelas mediatrizes $\overline{QS}$ e $\overline{PS}$. Calcule os ângulos desse triângulo.

Demonstre: a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.

Se o triângulo $ABC$ é retângulo de hipotenusa $\overline{BC}$ e $\overline{AM}$ é mediana, determine $x$:

Na figura, calcule $x$ e $y$. $M$ é ponto médio de $\overline{BC}$.

Na figura, $\overline{BD}$ é mediana do triângulo retângulo $ABC$ ($\hat{B} = 90^{\circ}$) e $\overline{BE} \perp \overline{AC}$. Se $\hat{A} = 70^{\circ}$, calcule a medida de $E\hat{B}D$.

No triângulo retângulo $ABC$ da figura, a mediana $\overline{AM}$ forma com a bissetriz $\overline{BF}$ os ângulos adjacentes $B\hat{F}A$ e $B\hat{F}M$. Exprima $B\hat{F}M$ em função de $\hat{B}$.

Num triângulo retângulo $ABC$, a altura $\overline{AS}$ forma com a mediana $\overline{AM}$ um ângulo de $22^{\circ}$. Calcule $\hat{B}$ e $\hat{C}$.

Determine os ângulos agudos de um triângulo retângulo, sabendo que a mediana e a bissetriz relativas à hipotenusa formam um ângulo de $35^{\circ}$.

As bissetrizes internas dos ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$ de um triângulo $ABC$ formam um ângulo de $116^{\circ}$. Determine a medida do menor ângulo formado pelas alturas relativas aos lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ desse triângulo.

Em um triângulo retângulo qualquer, o ângulo formado pela altura e pela mediana relativas à hipotenusa é igual ao módulo da diferença dos ângulos adjacentes à hipotenusa.

Mostre que, se uma mediana relativa a um lado de um triângulo mede a metade desse lado, então o triângulo é retângulo.

Sendo $ABC$ um triângulo isósceles de base $\overline{BC}$ e $M$ um ponto da base, prove que: 1º) se $\overline{AM}$ é mediana, então é bissetriz e altura; 2º) se $\overline{AM}$ é bissetriz, então é mediana e altura; 3º) se $\overline{AM}$ é altura, então é mediana e bissetriz.

Demonstre que em todo triângulo isósceles sempre temos duas alturas congruentes.

Mostre que, se uma altura e uma mediana de um triângulo coincidem, então esse triângulo é isósceles.

Mostre que, se uma altura e uma bissetriz de um triângulo coincidem, então esse triângulo é isósceles.

Prove que as bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo formam ângulos que independem dos valores daqueles ângulos agudos.

Demonstre que, se duas alturas de um triângulo são congruentes, então esse triângulo é isósceles.

Toda reta que passa pelo ponto médio de um segmento é equidistante das extremidades do segmento.

Toda reta equidistante dos extremos de um segmento passa pelo ponto médio dele?

Dados dois pontos $A$ e $B$ distintos e um ponto $P$ fora da reta $AB$, como se obtêm, no plano dos pontos $A$, $B$ e $P$, duas retas equidistantes de $A$ e $B$ passando por $P$?

Prove que a altura relativa a qualquer lado de um triângulo é menor que a média aritmética dos lados adjacentes.

Demonstre que a soma das três alturas de um triângulo acutângulo é menor que o perímetro e maior que o semiperímetro desse triângulo.

Sendo $r$ e $s$ retas paralelas e $DE = 2AB$, determine $x$.

Num triângulo retângulo $ABC$ de hipotenusa $\overline{BC}$, trace a bissetriz $\overline{BS}$, com $S$ em $\overline{AC}$. Mostre que $AS < SC$.

O triângulo $ABC$ abaixo é isósceles de base $\overline{BC}$. Determine $x$.