Euler's Eyes
2026-10-24
Exercícios do capítulo IX — Triângulos retângulos
Faça sempre uma figura: marque o ângulo reto, os dados e a incógnita. Em seguida, escolha o triângulo retângulo em que a incógnita e os dados aparecem juntos.
Relações métricas
Calcule os elementos $a$, $h$, $m$ e $n$ indicados na figura (catetos $b = 4$ e $c = 3$).
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Sendo $c = 3$ e $b = 4$:
$$a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a = 5$$$$h = \frac{bc}{a} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$$$m = \frac{c^2}{a} = \frac{9}{5}$$$$n = \frac{b^2}{a} = \frac{16}{5}.$$Calcule os elementos $x$, $y$, $z$, $t$ na figura: os catetos medem 12 e 5, $t$ é a hipotenusa, $x$ é a altura relativa a ela e $y$ e $z$ são as projeções dos catetos 5 e 12 sobre a hipotenusa.
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$x = \dfrac{60}{13}$, $y = \dfrac{25}{13}$, $z = \dfrac{144}{13}$, $t = 13$
Escreva 6 relações métricas envolvendo os elementos da figura: um triângulo retângulo de catetos $\alpha$ e $\beta$ e hipotenusa $\gamma$, com a altura $\varphi$ relativa à hipotenusa, que fica dividida nas projeções $\delta$ (de $\alpha$) e $\varepsilon$ (de $\beta$).
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Por exemplo: $\alpha^2 = \gamma\delta$, $\beta^2 = \gamma\varepsilon$, $\varphi^2 = \delta\varepsilon$, $\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2$, $\alpha\beta = \gamma\varphi$, $\alpha^2 = \delta^2 + \varphi^2$
Calcule a área de um triângulo retângulo em que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, 4 e 9.
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$39$
Calcule a hipotenusa de um triângulo retângulo de perímetro 56 e altura relativa à hipotenusa $\dfrac{168}{25}$.
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$25$
Um triângulo isósceles $ABC$ tem base $a = 12$ e está inscrito numa circunferência de diâmetro $2R = 20$. Calcule as medidas dos lados $b$ e $c$ do triângulo.
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Ligando o vértice $A$ ao centro $O$, obtemos uma reta que corta a circunferência em $D$: $\overline{AD}$ é diâmetro. Como $AD$ é mediatriz de $\overline{BC}$, temos $AD \perp BC$ e $BM = MC = 6$. O triângulo $ADC$ é retângulo em $C$ (inscrito numa semicircunferência), e $\overline{CM}$ é a sua altura. Com $AM = y$ e $MD = 20 - y$:
$$6^2 = y(20 - y) \Longrightarrow y^2 - 20y + 36 = 0 \Longrightarrow y = 2 \;\text{ ou }\; y = 18.$$Então $b^2 = 6^2 + y^2$, isto é, $b^2 = 40$ ou $b^2 = 360$. Há dois triângulos possíveis: $b = c = 2\sqrt{10}$ (quando $A$ e o centro $O$ ficam em lados opostos da base, $y = 2$) ou $b = c = 6\sqrt{10}$ (quando ficam do mesmo lado, $y = 18$).
Calcule a altura de um triângulo isósceles conhecendo o raio $R$ da circunferência circunscrita e a base $a$. Dados: $R = 5$ e $a = 8$.
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$h = 8$ ou $h = 2$
Calcule o raio da circunferência circunscrita a um triângulo isósceles de base 6 cujos outros lados medem $\sqrt{90}$.
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$5$
Um ponto $P$ dista $d = 13$ do centro $O$ de uma circunferência de raio $R = 5$. Se traçarmos por $P$ uma reta tangente à circunferência no ponto $T$, qual a medida do segmento $\overline{PT}$?
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$PT = 12$
Calcule o lado de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio $R$.
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$\ell_8 = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$
Razões trigonométricas
Calcule os ângulos internos de um triângulo retângulo cujos catetos são $b = 9$ e $c = 12$.
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Resposta: $\hat{A} = 90^\circ$, $\hat{B} = \operatorname{arc\,tg}\frac{3}{4}$ (cerca de $36^\circ 52'$) e $\hat{C} = \operatorname{arc\,tg}\frac{4}{3}$ (cerca de $53^\circ 8'$).
Calcule os lados de um triângulo retângulo sabendo que a altura relativa à hipotenusa é $h = 4$ e um ângulo agudo é $\hat{B} = 30^\circ$.
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$a = \dfrac{16\sqrt{3}}{3}$, $b = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$, $c = 8$
Calcule os lados de um triângulo retângulo sabendo que a altura relativa à hipotenusa mede 4 e forma ângulo de $15^\circ$ com o cateto $b$.
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$a = 16$, $b = \dfrac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$, $c = \dfrac{16}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$
Calcule os catetos de um triângulo retângulo $ABC$ sabendo que ele está inscrito numa circunferência de raio 3 e tem ângulos agudos tais que $\hat{B} = 2\hat{C}$.
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$b = 3\sqrt{3}$ e $c = 3$
Calcule os ângulos agudos de um triângulo retângulo de hipotenusa 20, sabendo que a mediana relativa a um dos catetos mede 15.
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$\operatorname{arc\,tg}\sqrt{\dfrac{5}{7}}$ e $\operatorname{arc\,tg}\sqrt{\dfrac{7}{5}}$
(FFCLUSP-66) Na figura, os ângulos $O\hat{A}_iB_i$ e $O\hat{B}_{i+1}A_i$ ($i = 0, 1, 2, 3, \ldots$) são retos. Quanto vale a soma dos segmentos $\overline{A_0B_0}$, $\overline{A_1B_1}$, $\overline{A_2B_2}$, … em função de $\overline{A_0B_0}$ e de $\theta$?
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No triângulo $A_0B_1B_0$, retângulo em $B_1$, o ângulo em $B_0$ mede $90^\circ - \theta$; logo $A_0B_1 = A_0B_0\cos\theta$. Do mesmo modo, no triângulo $A_0A_1B_1$, retângulo em $A_1$, $A_1B_1 = A_0B_1\cos\theta = A_0B_0\cos^2\theta$. Cada segmento vertical é o anterior multiplicado por $\cos^2\theta$: a soma é uma progressão geométrica infinita de razão $\cos^2\theta < 1$,
$$A_0B_0\,(1 + \cos^2\theta + \cos^4\theta + \cdots) = \frac{A_0B_0}{1 - \cos^2\theta} = \frac{A_0B_0}{\operatorname{sen}^2\theta} = A_0B_0\operatorname{cossec}^2\theta.$$Ver resposta
$A_0B_0 \cdot \operatorname{cossec}^2\theta$
Calcule o ângulo formado pela diagonal e o menor lado de um retângulo cujos lados estão na razão $\dfrac{3}{4}$.
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$\operatorname{arc\,tg}\dfrac{4}{3}$
Calcule a área de um triângulo isósceles $ABC$ cuja base é $a = 8$, sabendo que $\hat{A} = 45^\circ$.
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Traçando a altura $\overline{AM}$, o triângulo fica dividido em duas partes congruentes, com $\hat{A}' = \hat{A}'' = 22^\circ 30'$ e $BM = MC = 4$. Então
$$\operatorname{tg} 22^\circ 30' = \frac{MC}{AM} \Longrightarrow AM = \frac{4}{\operatorname{tg} 22^\circ 30'} = \frac{4\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}},$$usando $\operatorname{tg} 22^\circ 30' = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ (arco metade). A área é
$$S = \frac{BC \cdot AM}{2} = \frac{16\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = 16(\sqrt{2} + 1),$$pois $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{4 - 2}} = \sqrt{2} + 1$.
Calcule a altura relativa à base de um triângulo isósceles de perímetro $2p = 36$, sabendo que os ângulos adjacentes à base são iguais a $\operatorname{arc\,cos}\dfrac{2}{7}$.
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Seja $a$ a base e $b$ cada um dos lados iguais. A altura divide a base ao meio, e $\frac{a}{2} = b\cos\hat{B} = \frac{2b}{7}$, isto é, $a = \frac{4b}{7}$. Do perímetro, $\frac{4b}{7} + 2b = 36$, logo $b = 14$ e $a = 8$. Então $h = \sqrt{14^2 - 4^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$.
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$h = 6\sqrt{5}$ (os lados medem 14, 14 e 8). O gabarito impresso traz $2\sqrt{37}$, valor que não é compatível com os dados.
Calcule o raio da circunferência circunscrita a um triângulo isósceles de base $a = 8$ e ângulo oposto à base $\hat{A} = 120^\circ$.
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$R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
Uma reta determina, sobre uma circunferência de raio 10, uma corda de comprimento 16. Qual é a medida do ângulo central sob o qual se vê a corda?
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$2\operatorname{arc\,sen}\dfrac{4}{5}$
Determine o ângulo $\hat{B}$ de um triângulo $ABC$ retângulo em $A$ sabendo que se verifica a relação $\dfrac{1}{c} + \dfrac{2}{b} = \dfrac{\sqrt{5}}{h}$, onde $h$ é a altura relativa à hipotenusa.
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$\hat{B} = \operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{2} \approx 26^\circ 34'$
Num triângulo $ABC$ retângulo em $A$, sabe-se que o ângulo agudo formado pelas medianas $\overline{BM}$ e $\overline{CN}$ é $\theta = 30^\circ$. Calcule o ângulo $\hat{C}$.
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$\hat{C} = \dfrac{1}{2}\operatorname{arc\,sen}\dfrac{4}{3\sqrt{3}}$ (ou o complemento desse ângulo, pois os papéis de $B$ e $C$ podem ser trocados)
Num triângulo $ABC$ retângulo em $A$ traçam-se as bissetrizes internas $\overline{BB'}$ e $\overline{CC'}$. Sabendo que $AB' = 1$ e $AC' = 1$, calcule o ângulo $\hat{B}$ e a hipotenusa $a$.
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$\hat{B} = 2\operatorname{arc\,tg}(\sqrt{2} - 1) = 45^\circ$ e $a = 2 + \sqrt{2}$. O gabarito impresso dá $a = 2\sqrt{2}$; mas, com $\hat{B} = 45^\circ$, $c = \frac{1}{\operatorname{tg} 22^\circ 30'} = \sqrt{2} + 1$ e $a = c\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$.
Calcule os ângulos agudos do triângulo retângulo de hipotenusa $a = 13$ m, sabendo que o raio da circunferência inscrita é $r = 2$ m.
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$\operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}$ e $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}$
Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de $60^\circ$. Afastando-se do edifício mais 30 m, passa a vê-lo sob um ângulo de $45^\circ$. Qual é a altura do prédio?
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No triângulo $BXY$: $\operatorname{tg} 60^\circ = \dfrac{h}{\ell} \Rightarrow \ell = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$. No triângulo $AXY$: $\operatorname{tg} 45^\circ = \dfrac{h}{\ell + 30} \Rightarrow h = \ell + 30$. Então
$$h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 30 \Longrightarrow h = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 15\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 45 + 15\sqrt{3} \approx 71 \text{ m}.$$(MAUÁ-68) Para medir a altura da torre vertical $\overline{DE}$, toma-se, no plano horizontal que passa pela sua base $D$, o segmento $\overline{AB}$ de comprimento 12 m e cujo ponto médio é $C$. Medem-se os ângulos $D\hat{A}E$, $D\hat{B}E$ e $D\hat{C}E$, verificando-se que $D\hat{A}E = D\hat{B}E = 45^\circ$ e $D\hat{C}E = 60^\circ$. Determine a altura da torre.
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$h = 3\sqrt{6}$ m
Calcule a distância entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-céu, conhecendo os ângulos $\alpha$ e $\beta$ ($\alpha < \beta$) sob os quais são observados de um ponto $O$ do solo e a distância $d$ desse ponto ao prédio.
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$h = d(\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha)$
(MAUÁ-65) Para obter a altura $H$ de uma chaminé $\overline{CD}$, um engenheiro, com um aparelho especial, estabeleceu a horizontal $\overline{AB}$ ($B$ na chaminé) e mediu os ângulos $\alpha = B\hat{A}C$ (para baixo, até a base $C$) e $\beta = B\hat{A}D$ (para cima, até o topo $D$), tendo a seguir medido $BC = h$. Determine a altura da chaminé.
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$H = h\left(\dfrac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha} + 1\right)$
(MAUÁ-67) Um observador encontra-se numa rodovia, num trecho retilíneo e horizontal situado no mesmo plano vertical que contém uma torre de TV no alto de um pico. De duas posições $A$ e $B$ desse trecho, distantes 60 m uma da outra, o observador vê a extremidade superior da torre, respectivamente, sob os ângulos de $30^\circ$ e $31^\circ 53'$. O aparelho que mede os ângulos foi colocado a 1,50 m acima da pista, que está a 721,50 m acima do nível do mar. Determine a altura da extremidade da torre em relação ao nível do mar. Dado: $\operatorname{tg} 31^\circ 53' \approx 0{,}62$.
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Seja $x$ a distância horizontal de $B$ à torre e $t$ a altura do topo acima do aparelho. Então $t = 0{,}62\,x$ e $t = (x + 60)\operatorname{tg} 30^\circ$. Com $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774$:
$$0{,}62x = 0{,}5774x + 34{,}64 \Longrightarrow x \approx 812 \text{ m} \Longrightarrow t \approx 504 \text{ m}.$$A altura em relação ao nível do mar é $721{,}50 + 1{,}50 + 504 \approx 1227$ m.
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Cerca de $1227$ m (o gabarito impresso dá $1233$ m; o resultado é muito sensível ao arredondamento de $\operatorname{tg} 30^\circ$, porque a diferença $0{,}62 - \operatorname{tg} 30^\circ$ é pequena)
(LINS-66) Na figura, $A$, $C$ e $B$ estão alinhados no chão com $AC = CB = 60$ m; $\overline{AM} = x$ e $\overline{BN} = y$ são verticais; $N\hat{A}B = 2\alpha$, $M\hat{B}A = \alpha$ e $M\hat{C}N = 90^\circ$. Calcule as distâncias $x$ e $y$.
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Os triângulos $MAC$ e $CBN$ são semelhantes (os ângulos $M\hat{C}A$ e $C\hat{N}B$ são iguais, pois ambos completam $N\hat{C}B$ a $90^\circ$): $\frac{x}{60} = \frac{60}{y}$, isto é, $xy = 3600$. Além disso, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{x}{120}$ e $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{y}{120}$. Pela fórmula do arco duplo,
$$\frac{y}{120} = \frac{2 \cdot \frac{x}{120}}{1 - \frac{x^2}{14\,400}} \Longrightarrow \frac{3600}{x} = \frac{28\,800x}{14\,400 - x^2} \Longrightarrow 14\,400 - x^2 = 8x^2 \Longrightarrow x = 40,$$e $y = \frac{3600}{40} = 90$.
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$x = 40$ m e $y = 90$ m
Resolução de triângulos retângulos
Resolva um triângulo retângulo $ABC$ conhecendo a medida da bissetriz interna $S_b = 5$ e o ângulo $\hat{C} = 30^\circ$.
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É imediato que $\hat{B} = 60^\circ$ e $\frac{\hat{B}}{2} = 30^\circ$. No triângulo retângulo $ABS$ ($S$ é o pé da bissetriz, sobre $\overline{AC}$):
$$c = 5\cos 30^\circ = \frac{5\sqrt{3}}{2}.$$Então $a = \dfrac{c}{\cos\hat{B}} = \dfrac{5\sqrt{3}/2}{1/2} = 5\sqrt{3}$ e $b = a\operatorname{sen}\hat{B} = 5\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15}{2}$.
Resolva um triângulo retângulo $ABC$ sendo dados $b = 3$ e $a - c = \sqrt{3}$.
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$\hat{B} = 60^\circ$, $\hat{C} = 30^\circ$, $a = 2\sqrt{3}$ e $c = \sqrt{3}$
Resolva um triângulo $ABC$ retângulo em $A$ sabendo que $a + b = 18$ e $a + c = 25$.
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$a = 13$, $b = 5$, $c = 12$, $\hat{B} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}$, $\hat{C} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}$
Resolva um triângulo retângulo $ABC$ sabendo que $a = 4$ e que a medida da bissetriz interna $\overline{BE}$ é $S_b = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$.
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$\hat{B} = 30^\circ$, $\hat{C} = 60^\circ$, $b = 2$, $c = 2\sqrt{3}$
Resolva um triângulo retângulo conhecendo a altura $h = 1$ relativa à hipotenusa e o perímetro $2p = 2\sqrt{2} + 2$.
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$a = 2$, $b = c = \sqrt{2}$, $\hat{B} = \hat{C} = \dfrac{\pi}{4}$
Resolva um triângulo isósceles $ABC$ sabendo que a altura relativa à base $\overline{BC}$ mede $h = 24$ e o perímetro é $2p = 64$.
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$a = 14$, $b = c = 25$, $\hat{A} = 2\operatorname{arc\,sen}\dfrac{7}{25}$, $\hat{B} = \hat{C} = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{7}{25}$
Resolva um triângulo retângulo $ABC$ conhecendo o raio $r = 2$ da circunferência inscrita e a altura $h = \dfrac{60}{13}$ relativa à hipotenusa.
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$a = 13$, $b = 12$, $c = 5$, $\hat{B} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}$, $\hat{C} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}$
Resolva um triângulo retângulo $ABC$ conhecendo a altura $h = 2$ relativa à hipotenusa e o raio $r' = 2\sqrt{2} + 2$ da circunferência ex-inscrita situada no ângulo reto.
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$a = 4$, $b = c = 2\sqrt{2}$, $\hat{B} = \hat{C} = \dfrac{\pi}{4}$