Em Os Meteoros, Descartes explicou o arco-íris usando a lei da refração, que publicou em A Dióptrica. Quando a luz passa do ar para a água, ela desvia segundo

$$\sin i = n \cdot \sin r,$$

em que $i$ é o ângulo de entrada, $r$ o ângulo dentro da água e $n \approx \frac{4}{3}$ para a água. (O holandês Willebrord Snell tinha achado a mesma lei antes, mas não publicou. Por isso ela se chama lei de Snell-Descartes.)

A figura original de *Os Meteoros* (1637): raios de sol entram nas gotas e chegam ao olho do observador, embaixo à esquerda.
A figura original de Os Meteoros (1637): raios de sol entram nas gotas e chegam ao olho do observador, embaixo à esquerda.René Descartes · domínio público

Descartes imaginou um raio de sol entrando numa gota esférica, refletindo uma vez lá dentro e saindo. Seguindo os ângulos, o raio sai fazendo com a direção da sombra do observador um ângulo de

$$\theta = 4r - 2i.$$

Ele calculou à mão esse ângulo para raios que entram em várias posições da gota. Refazendo a conta com $n = \frac{4}{3}$:

Ângulo de entrada $i$ $r$ Ângulo de saída $\theta = 4r - 2i$
10° 7,5° 9,9°
20° 14,9° 19,5°
30° 22,0° 28,1°
40° 28,8° 35,3°
50° 35,1° 40,3°
55° 37,9° 41,6°
60° 40,5° 42,0°
65° 42,8° 41,3°
70° 44,8° 39,2°
80° 47,6° 30,5°

Repare na coluna da direita: ela sobe, chega a um máximo de cerca de 42° e volta a cair. Perto do máximo, raios que entram em posições bem diferentes (de 50° a 70°) saem quase no mesmo ângulo. A luz se acumula ali, e por isso vemos um arco brilhante a 42° do ponto oposto ao Sol.

Agora faça o experimento de Descartes. Mova o ponto de entrada e acompanhe o gráfico à direita, depois ligue “Muitos raios” para ver vermelho e violeta se acumulando em ângulos um pouco diferentes:

Um raio entra na gota, reflete uma vez lá dentro e sai. O ângulo de saída nunca passa de cerca de 42°.

Como $n$ varia um pouco com a cor (a luz vermelha desvia menos que a violeta), cada cor tem o seu máximo num ângulo ligeiramente diferente: o vermelho fica por fora e o violeta por dentro. Era a primeira explicação matemática do arco-íris.

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