Pegue uma folha de papel. Você pode enrolá-la num cilindro sem rasgar nem esticar: as distâncias medidas sobre a folha, com uma régua flexível, continuam as mesmas. Mas não consegue embrulhar uma bola com ela sem fazer pregas. A folha e a esfera têm geometrias internas diferentes, e Gauss provou em 1827 que essa diferença, a curvatura, não muda quando a superfície é dobrada sem esticar.

No século XIX, Bernhard Riemann teve uma ideia ainda mais ousada: descrever uma superfície, ou um espaço de qualquer dimensão, só pelas suas medidas internas, sem desenhá-la em lugar nenhum. Basta uma regra, a métrica, que diz como medir o comprimento de qualquer curva. É assim que a relatividade geral descreve o espaço-tempo: por dentro, sem um espaço maior em volta.

A pergunta

Mas todo espaço abstrato de Riemann pode ser desenhado dentro de um espaço euclidiano comum, talvez de muitas dimensões, de modo que os comprimentos medidos lá dentro coincidam com os comprimentos medidos no desenho? Esse “desenho sem distorção” se chama imersão isométrica. A pergunta tinha meio século, e os geômetras a achavam dificílima.

Por volta de 1953, no MIT, o geômetra Warren Ambrose, irritado com a arrogância do jovem colega, desafiou Nash: se era tão bom, que resolvesse aquilo. Nash aceitou a aposta.

Um exemplo: o cilindro

Vamos ver o que significa uma imersão isométrica num caso simples. Uma faixa do plano tem coordenadas $(u,v)$ e a métrica comum, $ds^2=du^2+dv^2$: um pedacinho de curva com deslocamentos $du$ e $dv$ tem comprimento $\sqrt{du^2+dv^2}$. Enrole a faixa num cilindro de raio $R$:

$$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\operatorname{sen}\frac uR,\ v\right).$$

As derivadas são

$$F_u=\left(-\operatorname{sen}\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$

e os produtos escalares,

$$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$

Então, no cilindro, $ds^2=du^2+dv^2$, exatamente como na faixa. O enrolamento é isométrico: uma formiga andando sobre a superfície não perceberia diferença. Mas repare: dois pontos próximos através do cilindro podem estar longe andando pela superfície. A imersão preserva os comprimentos das curvas sobre a superfície, não as distâncias em linha reta pelo espaço.

O toro plano

Agora um caso difícil. Pegue um quadrado de papel e cole o lado de cima com o de baixo: vira um cilindro. Cole agora as duas pontas do cilindro: vira uma rosquinha, um toro. Se você fizer isso com papel de verdade, vai amassar: a rosquinha comum tem curvatura positiva por fora e negativa por dentro. O toro feito de um quadrado plano, com as medidas do quadrado, se chama toro plano, e um teorema clássico diz que ele não pode ser desenhado suavemente no espaço tridimensional sem distorção. Ele cabe, sem distorção, em quatro dimensões, mas não em três.

O que Nash provou

Em 1954, Nash publicou um resultado espantoso: se a imersão só precisar ser suave uma vez, ou seja, ter tangente bem definida em cada ponto mas não necessariamente curvatura, qualquer superfície pode ser colocada isometricamente no espaço de três dimensões. O holandês Nicolaas Kuiper completou o argumento em 1955. Pelo teorema de Nash-Kuiper, até o toro plano cabe no espaço comum. O preço é uma superfície estranhíssima, cheia de ondulações sobre ondulações, em escalas cada vez menores, como um fractal.

Uma imersão isométrica do toro plano no espaço tridimensional, calculada pelo projeto Hevea em 2012. A superfície é coberta de ondulações sobre ondulações, cada vez menores; aqui aparecem as três primeiras camadas.
Uma imersão isométrica do toro plano no espaço tridimensional, calculada pelo projeto Hevea em 2012. A superfície é coberta de ondulações sobre ondulações, cada vez menores; aqui aparecem as três primeiras camadas.Projeto Hevea, envio de Romainbehar · Wikimedia Commons · CC0

Em 1956, Nash publicou o caso que Ambrose tinha proposto, o das imersões completamente suaves: toda variedade de Riemann pode ser colocada isometricamente num espaço euclidiano de dimensão suficientemente alta. Para isso inventou uma técnica nova para resolver equações, um método de aproximações sucessivas que corrige, a cada passo, a perda de suavidade do passo anterior. A técnica, depois aperfeiçoada por Jürgen Moser, ficou conhecida como método de Nash-Moser e é usada hoje em problemas de mecânica celeste e de equações diferenciais que nada têm a ver com geometria.

Exercício: no cilindro de raio R = 1, qual é o comprimento do caminho sobre a superfície entre os pontos (1, 0, 0) e (−1, 0, 0)? E a distância em linha reta?

Os pontos correspondem a $u=0$ e $u=\pi$ com o mesmo $v$. Andando pela superfície, o comprimento é o da faixa: $\pi\approx3{,}14$. Em linha reta pelo espaço, atravessando o cilindro, a distância é $2$. A imersão preserva o primeiro, não o segundo.

Exercício: um cone também pode ser feito de papel sem esticar. Que fração de um disco de raio 1 é preciso para fazer um cone de raio da base 1/2 e geratriz 1?

A geratriz do cone é o raio do disco, 1. A borda da base tem comprimento $2\pi\cdot\frac12=\pi$, que deve ser o arco do setor recortado do disco. O disco inteiro tem borda $2\pi$, então o setor é metade do disco: um semicírculo enrolado vira o cone. Como o papel não foi esticado, o cone é uma imersão isométrica de um pedaço do plano.

Fontes: John Nash, “C¹ isometric imbeddings”, Annals of Mathematics 60 (1954) e “The imbedding problem for Riemannian manifolds”, Annals of Mathematics 63 (1956) · Vincent Borrelli et al., “Flat tori in three-dimensional space and convex integration”, PNAS 109 (2012) · justificativa do Prêmio Abel de 2015.

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