Euler's Eyes
2026-10-11
Semelhança de triângulos
Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mesmo com tamanhos diferentes. É a matemática das fotos, dos mapas e das maquetes.
Quem descobriu
A ideia está nas histórias sobre Tales de Mileto, que teria medido a altura de uma pirâmide comparando sua sombra com a de uma vara. A teoria completa está no livro VI dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), que define figuras semelhantes como as que têm ângulos iguais e lados proporcionais. Ela depende da teoria das proporções de Eudoxo de Cnido (século IV a.C.), do livro V, que permitiu tratar também razões entre segmentos incomensuráveis.
A história
O método das sombras virou instrumento. A partir da Idade Média, astrolábios e quadrantes traziam gravado o quadrado das sombras, com duas escalas, a umbra recta e a umbra versa, para medir alturas de torres e profundidades de poços sem contas complicadas.
Por volta de 270 a.C., Aristarco de Samos usou triângulos semelhantes para estimar as distâncias relativas da Terra à Lua e ao Sol. Os números estavam longe dos reais, mas o método — comparar triângulos semelhantes no céu — estava correto.
No dia a dia
- Ampliar uma foto. Ao “dar zoom” sem distorcer, todas as medidas são multiplicadas pelo mesmo fator.
- Maquetes e miniaturas. Um carrinho na escala 1 : 43 tem cada medida 43 vezes menor que a do carro real.
- Altura de um prédio pela sombra. Compare a sombra do prédio com a de uma pessoa de altura conhecida, no mesmo horário.
- Projetor e câmera. A imagem na tela ou no sensor é semelhante ao objeto, com tamanho proporcional à distância.
Fontes: Tales (MacTutor) · Elementos, livro VI · Aristarco (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoTriângulos semelhantes
Dois triângulos são semelhantes (símbolo $\sim$) se, e somente se, têm os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais:
$$\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \\ \dfrac{a}{a^{\prime}} = \dfrac{b}{b^{\prime}} = \dfrac{c}{c^{\prime}} = k \end{cases}$$Lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) estão um em cada triângulo e são opostos a ângulos congruentes. O número $k$ é a razão de semelhança; se $k = 1$, os triângulos são congruentes.
A semelhança é reflexiva, simétrica e transitiva.
ExemploCalculando com a razão de semelhança
Se $\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, com $A^{\prime}B^{\prime} = 3$ cm, $A^{\prime}C^{\prime} = 7$ cm, $B^{\prime}C^{\prime} = 5$ cm e $AB = 6$ cm, a razão é $k = \dfrac{6}{3} = 2$. Então $BC = 2 \cdot 5 = 10$ cm e $AC = 2 \cdot 7 = 14$ cm.
TeoremaTeorema fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro:
$$\overline{DE} \parallel \overline{BC} \Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC.$$Demonstração
- Ângulos: como $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$, $\hat{D} \equiv \hat{B}$ e $\hat{E} \equiv \hat{C}$ (correspondentes), e $\hat{A}$ é comum.
- Lados: pelo teorema de Tales, $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$.
- Por $E$ traçamos $\overline{EF} \parallel \overline{AB}$, com $F$ em $\overline{BC}$. $BDEF$ é paralelogramo, então $DE = BF$, e por Tales $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{BF}{BC} = \dfrac{DE}{BC}$.
- Logo $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$, e os triângulos são semelhantes.
ExemploAplicando o teorema fundamental
Num triângulo com $AB = 12$ cm, $AC = 13$ cm e $BC = 15$ cm, a paralela $\overline{DE}$ a $\overline{BC}$ tem $DE = 5$ cm. Então $\dfrac{x}{12} = \dfrac{y}{13} = \dfrac{5}{15}$, ou seja, $AD = x = 4$ cm e $AE = y = \dfrac{13}{3}$ cm.