Os antigos textos deste site começavam o assunto com uma brincadeira. Tome dois números iguais, $a=b$, e faça contas que parecem inocentes:

$$\begin{aligned} a&=b\\ a^2&=ab\\ a^2-b^2&=ab-b^2\\ (a+b)(a-b)&=b(a-b)\\ a+b&=b\\ 2b&=b\\ 2&=1. \end{aligned}$$

Onde está o erro? Na passagem da quarta para a quinta linha, dividimos os dois lados por $a-b$. Mas $a=b$, então $a-b=0$, e dividimos por zero. A escrita esconde o crime: $a-b$ parece um número qualquer, e só quem lembra da primeira linha percebe que ele é zero. Uma divisão por zero disfarçada é a forma mais simples daquilo que os matemáticos chamam de indeterminação, o famoso $\frac00$.

O problema que o cálculo deixou

O cálculo de Newton e de Leibniz vivia de quantidades que eram, ao mesmo tempo, zero e não zero. Para derivar $x^2$, Leibniz calculava $\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}=2x+dx$ e então “desprezava” o $dx$, como se fosse zero. Mas, se $dx$ fosse zero, não se poderia ter dividido por ele duas linhas antes. Funcionava, e ninguém sabia explicar por quê.

Em 1734, o bispo irlandês George Berkeley publicou um ataque feroz, O analista, dirigido aos “matemáticos infiéis” que zombavam da fé religiosa enquanto acreditavam em coisas muito mais estranhas:

E o que são essas fluxões? As velocidades de incrementos evanescentes. E o que são esses mesmos incrementos evanescentes? Não são nem quantidades finitas, nem quantidades infinitamente pequenas, nem coisa nenhuma. Não poderíamos chamá-los de fantasmas de quantidades mortas?

— George Berkeley, O analista (1734)

Berkeley estava certo sobre a lógica e errado sobre o cálculo. As contas funcionavam; faltava uma linguagem que dissesse o que elas faziam.

Cauchy: aproximar sem chegar

A linguagem veio da França. Em 1821, Augustin-Louis Cauchy publicou o Curso de análise da École Polytechnique e definiu a ideia central em palavras:

Quando os valores sucessivamente atribuídos a uma mesma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo, de modo a acabar por diferir dele tão pouco quanto se queira, este último é chamado o limite de todos os outros.

— Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse (1821)

O segredo está em “tão pouco quanto se queira”. O $dx$ nunca chega a zero: ele fica arbitrariamente perto. Algumas décadas depois, o alemão Karl Weierstrass trocou a frase por letras: para cada margem $\varepsilon>0$, por menor que seja, existe uma distância $\delta>0$ que garante a aproximação. É a famosa definição “épsilon-delta”, ainda hoje o terror dos primeiros anos de faculdade:

$$\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x)=L\iff{}&\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\\ &0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\end{aligned}$$

Repare nos sinais $\forall$ (para todo) e $\exists$ (existe), que veremos de perto no texto sobre a lógica: a escrita do raciocínio posta a serviço do cálculo. O infinitamente pequeno deixou de ser uma coisa e virou uma promessa: dê-me qualquer $\varepsilon$, e eu acho o $\delta$.

lim, a seta e o que eles escondem

A notação também levou tempo. Em 1786, o suíço Simon L’Huilier escreveu a abreviação lim., com ponto, para “limite”. A setinha sob o lim, $x\to a$, só se espalhou no começo do século XX, sobretudo pelo livro A Course of Pure Mathematics (1908), do inglês G. H. Hardy. A escrita final é compacta e ativa:

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4.$$

A seta diz algo que o sinal de igual não diria: $x$ se aproxima de $2$, mas nunca é $2$. Por isso podemos cancelar o $x-2$, que nunca é zero ao longo do caminho, sem cometer o crime da prova de que $1=2$. A diferença entre as duas contas está inteira na seta.

Exercício: cancele com a seta

Calcule $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^3-3x^2}{x-3}$. Fatorando o numerador: $x^3-3x^2=x^2(x-3)$. Como $x\to3$ sem nunca valer $3$, podemos cancelar:

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to3}x^2=9.$$

Substituir direto daria $\frac00$, uma indeterminação. A seta autoriza o cancelamento que o sinal de igual proibiria.

Exercício: um parente do número e

Calcule $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^{2x}$. Reescrevendo com as propriedades das potências:

$$\left(1+\frac1x\right)^{2x}=\left[\left(1+\frac1x\right)^{x}\right]^2\ \longrightarrow\ e^2.$$

A escrita deixa ver o limite conhecido escondido dentro do novo.

Fontes: Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus (1981) · Florian Cajori, A History of Mathematical Notations · Augustin-Louis Cauchy, MacTutor · George Berkeley, MacTutor.

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