Mal podemos evitar a conclusão de que a luz consiste nas ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos.

— James Clerk Maxwell, “On physical lines of force” (1862), com o itálico do original

No verão de 1861, em Glenlair, longe dos livros, Maxwell fez uma conta com o seu modelo de vórtices e rodinhas: se o meio que transmite as forças elétricas e magnéticas fosse sacudido, a perturbação se propagaria como uma onda. Com que velocidade? A conta dava um número que dependia só de duas constantes medidas em laboratório com ímãs e cargas. Ele não tinha os valores à mão. Quando voltou a Londres, em outubro, foi procurá-los. O número era a velocidade da luz.

A equação de onda

Vamos refazer a conta com as equações na forma de hoje. Num lugar sem cargas e sem correntes, $\rho=0$ e $\mathbf J=0$, e as equações ficam

$$\nabla\cdot\mathbf E=0,\qquad\nabla\cdot\mathbf B=0,\qquad\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\qquad\nabla\times\mathbf B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.$$

Tome o rotacional da terceira:

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf B)=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},$$

usando a quarta. Do lado esquerdo, uma identidade de vetores diz que $\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E$, e o primeiro termo é zero pela primeira equação. Sobra

$$\boxed{\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.}$$

É a equação de onda, a mesma das cordas vibrantes de d’Alembert e do som. Numa equação de onda $\nabla^2u=\frac1{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}$, a velocidade da onda é $v$. Aqui, então,

$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.$$

O número

Com os valores de hoje, $\varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}$ F/m e $\mu_0\approx1{,}257\times10^{-6}$ H/m,

$$v=\frac1{\sqrt{8{,}854\times10^{-12}\cdot1{,}257\times10^{-6}}}\approx2{,}998\times10^8\ \text{m/s}=299\,792\ \text{km/s}.$$

Em 1862, Maxwell usou a constante medida em 1856 pelos alemães Wilhelm Weber e Rudolf Kohlrausch, com descargas de um frasco de Leiden, e obteve 310 740 km/s. A melhor medida da velocidade da luz, feita pelo francês Hippolyte Fizeau em 1849 com uma roda dentada e um espelho a 8 km de distância, dava 314 858 km/s. Os dois números, obtidos por caminhos que não tinham nada a ver um com o outro, um com ímãs e outro com espelhos, diferiam em pouco mais de 1%. Daí a frase da citação, que Maxwell escreveu em itálico.

Como é a onda

A solução mais simples é uma onda plana que anda no sentido $x$:

$$\mathbf E=E_0\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf y},\qquad\mathbf B=\frac{E_0}{c}\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf z},$$

com $\omega=ck$. O campo elétrico oscila na direção $y$, o magnético na direção $z$, e os dois são perpendiculares à direção em que a onda anda: a onda é transversal, como Maxwell previu, e é por isso que a luz pode ser polarizada, coisa que já se sabia desde o século XVIII. O campo magnético é $c$ vezes menor, e os dois oscilam juntos, em fase.

O campo elétrico de uma onda plana num instante fixo. A curva mostra o valor do campo em cada ponto do eixo x; não é o caminho de uma partícula. A onda inteira anda para a direita à velocidade da luz.
O campo elétrico de uma onda plana num instante fixo. A curva mostra o valor do campo em cada ponto do eixo x; não é o caminho de uma partícula. A onda inteira anda para a direita à velocidade da luz.Ilustração de Euler’s Eyes

Hertz e o espectro

Nada nas equações limitava a frequência. Se a luz visível era uma onda eletromagnética com uns 500 trilhões de oscilações por segundo, deveria haver ondas de qualquer frequência, mais lentas e mais rápidas. Maxwell morreu em 1879 sem vê-las. Em 1887, o alemão Heinrich Hertz produziu faíscas num circuito e detectou, do outro lado da sala, faíscas induzidas num anel de fio: eram ondas eletromagnéticas de alguns metros de comprimento, que se refletiam, se refratavam e andavam à velocidade da luz. Perguntado para que serviam, Hertz respondeu que para nada: só provavam que Maxwell estava certo. Sete anos depois, Marconi começava a fazer rádio.

Hoje, como $c=\lambda f$, sabemos ler todo o espectro com uma conta:

Onda Frequência Comprimento de onda
Rádio FM 100 MHz 3 m
Micro-ondas e wi-fi 2,45 GHz 12 cm
Luz verde $6\times10^{14}$ Hz 500 nm
Raios X $3\times10^{18}$ Hz 0,1 nm
Exercício: qual é o comprimento de onda de uma rádio AM em 1 000 kHz?

$\lambda=\frac cf=\frac{3\times10^8}{10^6}=300$ m. Por isso as antenas de rádio AM são torres enormes: costumam ter uma fração apreciável do comprimento de onda, dezenas de metros.

Exercício: um laser vermelho de 650 nm. Qual é a sua frequência? Quantas oscilações o campo dá enquanto a luz percorre 1 metro?

$f=\frac c\lambda=\frac{3\times10^8}{650\times10^{-9}}\approx4{,}6\times10^{14}$ Hz. Em 1 metro cabem $\frac{1}{650\times10^{-9}}\approx1{,}54$ milhão de comprimentos de onda: o campo oscila 1,5 milhão de vezes nesse trecho.

Fontes: James Clerk Maxwell, “On physical lines of force”, parte III, Philosophical Magazine 23 (1862) · Heinrich Hertz, Electric Waves (1893) · Lições de Física de Feynman, volume II, capítulo 20.

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