Imagine um banco generoso que paga 100% de juros ao ano. Você deposita 1 real em janeiro e, em dezembro, tem 2 reais. Agora o banco oferece outra coisa: em vez de 100% no fim do ano, paga 50% a cada seis meses, e os juros do primeiro semestre também rendem no segundo. Vale a pena? E se pagar a cada mês, a cada dia, a cada segundo? Dá para ficar infinitamente rico?

Essa é a pergunta que Jakob Bernoulli fez a si mesmo por volta de 1683 e publicou nas Acta Eruditorum em 1690. Ela parece de contabilidade, mas a resposta é um dos números mais importantes da matemática.

Fazer a conta

Se o ano é dividido em $n$ períodos iguais, cada período paga $\frac{100\%}{n}$, ou seja, o saldo é multiplicado por $1+\frac1n$. Depois de $n$ períodos, 1 real vira

$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n.$$

Com dois períodos, $a_2=1{,}5^2=2{,}25$: melhor que 2. Com mais períodos, melhor ainda:

Juros pagos $n$ Saldo no fim do ano
uma vez 1 2,000000
por semestre 2 2,250000
por trimestre 4 2,441406
por mês 12 2,613035
por dia 365 2,714567
por hora 8 760 2,718127

O saldo cresce, mas cada vez menos. Passar de juros mensais para diários rende só uns 10 centavos a mais; passar de diários para cada hora, menos de meio centavo. O saldo parece se aproximar de um teto perto de $2{,}718$.

Por que existe um teto

Bernoulli não tinha a palavra limite no sentido de hoje, mas tinha o binômio de Newton. Expandindo $a_n$:

$$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$

Arrumando cada termo,

$$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$

Duas coisas acontecem quando $n$ aumenta. Os parênteses $\left(1-\frac kn\right)$ ficam mais perto de 1, então cada termo cresce; e aparecem termos novos, todos positivos. Por isso $a_n$ só aumenta. Por outro lado, cada parêntese é menor que 1, então

$$a_n<1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots$$

E essa soma é fácil de controlar: como $3!=6>4$, $4!=24>8$ e, em geral, $k!\geq 2^{k-1}$,

$$a_n<1+\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots\right)=1+2=3.$$

Bernoulli concluiu exatamente isso: o saldo sobe sempre, mas fica entre 2 e 3. Por mais que o banco divida o ano, 1 real nunca vira 3. Uma sequência que só cresce e não passa de um teto tem de se aproximar de um valor:

$$\boxed{e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2{,}718281828\ldots}$$

Juros a cada instante

A conta acima também mostra a série que dá $e$ diretamente:

$$e=1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots=2+0{,}5+0{,}1\overline{6}+0{,}041\overline{6}+\cdots$$

Com só oito termos já temos $2{,}71825$: a série converge muito mais depressa que $(1+1/n)^n$.

Para uma taxa qualquer $r$ ao ano, o mesmo raciocínio dá $\left(1+\frac rn\right)^n\to e^r$. É a fórmula dos juros compostos contínuos: um capital $C$, aplicado por $t$ anos, vira $Ce^{rt}$. Com 100% ao ano, os juros contínuos rendem $e-1\approx 71{,}8\%$ a mais que o depósito, contra 100% da versão anual. Pagar juros a cada instante é bom, mas não é mágica.

Exercício: com juros de 12% ao ano, quanto rende 1 000 reais em um ano, pagos uma vez, mês a mês e continuamente?

Uma vez: $1\,000\cdot1{,}12=1\,120$ reais. Mês a mês, a taxa mensal é $1\%$: $1\,000\cdot1{,}01^{12}\approx1\,126{,}83$ reais. Continuamente: $1\,000\cdot e^{0{,}12}\approx1\,127{,}50$ reais. A diferença entre mensal e contínuo é de menos de 70 centavos.

Exercício: quanto tempo leva para um capital dobrar com juros contínuos de 7% ao ano?

Queremos $e^{0{,}07t}=2$, isto é, $0{,}07t=\ln 2\approx0{,}693$. Daí $t\approx9{,}9$ anos. É a origem da “regra do 70” dos economistas: o tempo para dobrar é aproximadamente 70 dividido pela taxa em porcentagem.

Fontes: Jakob Bernoulli, “Quaestiones nonnullae de usuris”, Acta Eruditorum (1690) · Eli Maor, e: A História de um Número (Record, 2003) · biografia de Jacob Bernoulli, MacTutor.

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