Por que contamos de dez em dez? Provavelmente porque temos dez dedos. Não há nada de especial no número 10: dá para escrever qualquer número com qualquer base. Leibniz levou essa ideia ao extremo e perguntou: qual é o menor número de algarismos com que se consegue escrever tudo?

A resposta é dois: 0 e 1.

Cada posição vale o dobro

Os números de 0 a 32 escritos em binário, na tabela do artigo *Explicação da aritmética binária*, que Leibniz publicou em 1703 nas memórias da Academia de Ciências de Paris.
Os números de 0 a 32 escritos em binário, na tabela do artigo Explicação da aritmética binária, que Leibniz publicou em 1703 nas memórias da Academia de Ciências de Paris.G. W. Leibniz (1703) · Wikimedia Commons · domínio público

No sistema decimal, as posições valem 1, 10, 100, 1000… e cada algarismo diz quantas vezes usamos aquele valor. No sistema binário, as posições valem 1, 2, 4, 8, 16, 32… e cada algarismo só pode dizer sim (1) ou não (0).

$$10110_2=1\cdot16+0\cdot8+1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=22.$$

O índice $_2$ lembra que o número está escrito na base 2. Com oito posições, ou oito bits, os valores vão de 1 a 128, e o maior número que dá para escrever é

$$11111111_2=128+64+32+16+8+4+2+1=255.$$

Contando o zero, são $2^8=256$ números diferentes. É por isso que tantas coisas na computação vão de 0 a 255.

Ative ou desative os oito bits

Ative os pesos e acompanhe a escrita binária e a soma decimal. Zeros à esquerda mantêm o comprimento de oito bits, sem mudar o valor.

Converter e somar

Para escrever 13 em binário, dividimos por 2 várias vezes e anotamos os restos:

Divisão Quociente Resto
13 ÷ 2 6 1
6 ÷ 2 3 0
3 ÷ 2 1 1
1 ÷ 2 0 1

Lendo os restos de baixo para cima: $13=1101_2$. Confira: $8+4+0+1=13$.

A soma é ainda mais simples que a decimal, porque só existem quatro casos: $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$ e $1+1=10_2$, que é “zero e vai um”. Por exemplo,

$$101_2+11_2=1000_2,\qquad\text{isto é,}\qquad5+3=8.$$

A tabuada inteira cabe numa linha: $0\times0=0$, $0\times1=0$, $1\times1=1$. Leibniz se encantou com isso: multiplicar vira apenas copiar e deslocar.

A multiplicação dos egípcios

A ideia de dobrar é muito mais antiga que Leibniz. No papiro de Rhind, copiado pelo escriba Ahmes por volta de 1550 a.C., os egípcios multiplicavam só dobrando e somando. Para calcular $21\times37$, faz-se uma tabela que começa com $1$ e $37$ e dobra as duas colunas a cada linha:

Dobros de 1 Dobros de 37
1 37
2 74
4 148
8 296
16 592

Escolhem-se, na coluna da esquerda, as linhas que somam 21: $16+4+1=21$. Somando as linhas correspondentes da direita, $592+148+37=777$. Logo, $21\times37=777$.

Por que funciona? Escolher as linhas é escrever 21 em binário: $21=10101_2=16+4+1$. Então

$$21\times37=(16+4+1)\times37=592+148+37.$$

Todo inteiro positivo se escreve de um único jeito como soma de potências de 2 diferentes, e por isso o método nunca falha. Os egípcios faziam contas em binário três mil anos antes de Leibniz, sem saber. Uma variante, que divide um dos fatores ao meio e dobra o outro, ficou conhecida na Europa como multiplicação dos camponeses russos, e é parecida com o que os processadores fazem até hoje.

Do nada e do um

Leibniz estudou o sistema binário em manuscritos de 1679, mas demorou a publicar. Para ele, o binário tinha também um sentido religioso: todos os números nascem do 1 e do 0, assim como, na sua visão, o mundo foi criado por Deus a partir do nada.

O livro chinês

O diagrama dos 64 hexagramas do *I Ching* que Joachim Bouvet enviou a Leibniz em 1701. Os algarismos arábicos foram escritos à mão por Leibniz, que numerou os hexagramas como números binários.
O diagrama dos 64 hexagramas do I Ching que Joachim Bouvet enviou a Leibniz em 1701. Os algarismos arábicos foram escritos à mão por Leibniz, que numerou os hexagramas como números binários.Joachim Bouvet e G. W. Leibniz · Wikimedia Commons · domínio público

Leibniz se correspondia com Joachim Bouvet, um missionário jesuíta que vivia na China. Em 1701, Bouvet lhe enviou os 64 hexagramas do I Ching, um livro chinês de adivinhação com cerca de três mil anos. Cada hexagrama tem seis linhas, que podem ser inteiras ou partidas.

Leibniz viu na hora: trocando a linha partida por 0 e a inteira por 1, e seguindo a ordem tradicional atribuída ao sábio Fu Xi, os hexagramas eram os números de 0 a 63 escritos em binário. Ficou fascinado e incluiu a descoberta no artigo que finalmente publicou em 1703, na revista da Academia de Paris: Explicação da aritmética binária.

Do papel ao computador

Por mais de dois séculos, o binário foi uma curiosidade. Isso mudou em 1937, quando o engenheiro americano Claude Shannon mostrou que circuitos elétricos com interruptores, ligado ou desligado, podiam fazer contas em binário. Hoje todo computador, celular e calculadora guarda números e textos como longas sequências de 0 e 1.

Leibniz não inventou o computador, nem foi o único a pensar em contar com dois símbolos. Mas foi quem organizou a aritmética binária, mostrou como fazer contas com ela e defendeu que ela revelava algo profundo sobre os números.

Exercício: escreva 19 em binário

$19=16+2+1$, então $19=10011_2$. Com oito bits: $00010011_2$.

Exercício: quanto vale 111111₂? E qual a relação com 2⁶?

$32+16+8+4+2+1=63=2^6-1$. Em geral, $n$ algarismos 1 seguidos valem $2^n-1$, assim como $999=10^3-1$ no sistema decimal.

Fontes: Leibniz e a aritmética binária, Mathematical Association of America · biografia no MacTutor.

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