Euler's Eyes
2026-10-15
Letras que generalizam: de 3 + 5 = 5 + 3 a a + b = b + a
Some $3+5$ e $5+3$: dá $8$ nos dois casos. Tente $12+7$ e $7+12$, $100+1$ e $1+100$. Sempre dá certo. Mas quantos exemplos são necessários para ter certeza? Mil? Um milhão? Nenhum número de exemplos basta, porque os pares de números são infinitos.
A frase
$$a+b=b+a$$resolve o problema de outra maneira. Ela não fala de nenhum par em particular: fala de todos de uma vez. As letras $a$ e $b$ aqui não escondem um valor, como a incógnita; elas representam qualquer valor. É o que Usiskin chamou de aritmética generalizada.
Pense num número
Um truque antigo de festa: pense num número, dobre, some $6$, divida por $2$ e tire o número que você pensou. O resultado é sempre $3$.
Com exemplos, dá para ganhar confiança: com $5$, fica $10$, $16$, $8$, $3$; com $20$, fica $40$, $46$, $23$, $3$. Com uma letra, dá para ter certeza. Chame o número de $n$:
$$n\ \to\ 2n\ \to\ 2n+6\ \to\ \frac{2n+6}{2}=n+3\ \to\ (n+3)-n=3.$$A letra fez o que os exemplos não podiam: percorreu todos os números de uma vez. E mostrou por que o truque funciona: o número pensado entra e sai, e só o $6$ dividido por $2$ sobrevive.
O truque passo a passo (clique para avançar)
- Pense num número: $n$.
- Dobre: $2n$.
- Some $6$: $2n+6$.
- Divida por $2$: $n+3$.
- Tire o número pensado: $(n+3)-n=3$. O $n$ desapareceu; o resultado não depende dele.
A soma dos ímpares
Some os primeiros números ímpares: $1=1$, $1+3=4$, $1+3+5=9$, $1+3+5+7=16$. Aparecem os quadrados. Para dizer isso para todo $n$, precisamos de uma letra:
$$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.$$A expressão $2n-1$ é o retrato do ímpar número $n$: para $n=1$ dá $1$, para $n=4$ dá $7$. A prova pode ser feita com outra letra e uma soma escrita de trás para a frente, como fazia o jovem Gauss: somando a lista com ela mesma invertida, cada par dá $2n$, e há $n$ pares, então o dobro da soma é $2n\cdot n$ e a soma é $n^2$.
Quando os exemplos enganam
Os exemplos podem ser perigosos. Em 1772, Euler notou que a expressão
$$n^2+n+41$$dá números primos para $n=0, 1, 2, 3, \dots$: $41$, $43$, $47$, $53$, $61$, $71$… Teste até $n=39$ e todos são primos. Quarenta exemplos seguidos! Mas para $n=40$:
$$40^2+40+41=1681=41^2,$$que não é primo. Escrevendo com letras, a falha se vê sem calcular: para $n=40$, $n^2+n+41=n^2+n+(n+1)=n(n+1)+(n+1)=(n+1)^2$. A letra não só generaliza: também mostra onde a generalização falha.
A espécie de Viète
Foi François Viète, em 1591, quem transformou essa ideia em método. Ele chamou o cálculo com letras de logistica speciosa, o cálculo com espécies, e o opôs à logistica numerosa, o cálculo com números. Uma espécie, para Viète, era uma forma geral, como a espécie “cavalo” abrange todos os cavalos. A sua grande inovação foi usar letras também para as quantidades conhecidas: assim, uma equação podia representar uma família inteira de problemas, e resolvê-la era resolver todos de uma vez.
Semioticamente, a letra que generaliza é um símbolo no sentido de Peirce, mas de um tipo especial: ela não representa um objeto, e sim uma classe de objetos, e qualquer membro da classe pode ocupar o seu lugar. A frase com letras vale como uma promessa: “escolha o número que quiser; a igualdade vai continuar verdadeira”.
Exercício: prove com letras que a soma de dois ímpares é par
Um ímpar qualquer se escreve $2m+1$, e outro, $2n+1$, com $m$ e $n$ inteiros quaisquer. A soma é $2m+2n+2=2(m+n+1)$, que é o dobro de um inteiro: é par. Repare que precisamos de duas letras diferentes. Com uma só, $2n+1$ e $2n+1$, teríamos provado apenas que o dobro de um ímpar é par.
Exercício: invente um truque que termine sempre em 5
Uma solução: pense num número $n$, multiplique por $4$, some $20$, divida por $4$ e tire o número pensado: $\frac{4n+20}4-n=n+5-n=5$. A receita geral é multiplicar por $k$, somar $5k$, dividir por $k$ e tirar $n$; a letra mostra que o truque funciona para qualquer $n$ e para qualquer $k\ne0$.
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