A história mais famosa de Gauss é de quando ele tinha uns 9 anos. Para manter a turma ocupada, o professor Büttner mandou os alunos somarem todos os números de 1 a 100. Em poucos segundos, Gauss colocou a lousa na mesa com a resposta certa: 5050. (A história foi contada pelo primeiro biógrafo de Gauss, e os números exatos da conta podem ter sido outros, mas a ideia é a mesma.)

O truque: juntar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante.

$$\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \cdots + 98 + 99 + 100 \\ S &= 100 + 99 + 98 + \cdots + 3 + 2 + 1 \\ 2S &= \underbrace{101 + 101 + 101 + \cdots + 101 + 101 + 101}_{100 \text{ vezes}} = 10\,100 \\ S &= 5050. \end{aligned}$$

Para qualquer $n$, a mesma ideia dá

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$

A figura mostra por que funciona: a soma é uma escada, e duas escadas iguais formam um retângulo.

Uma escada com 1 + 2 + … + n quadradinhos. Junte uma cópia virada e conte o retângulo.

Os números $1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$ que aparecem como escadas são os números triangulares. Já falamos deles e da PA neste site: veja os números triangulares e a progressão aritmética.

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