Um astro luminoso com a mesma densidade da Terra e um diâmetro 250 vezes maior que o do Sol não deixaria, por causa da sua atração, nenhum dos seus raios chegar até nós. É possível, portanto, que os maiores corpos luminosos do universo sejam, por isso mesmo, invisíveis.

— Pierre-Simon Laplace, Exposição do sistema do mundo (1796)

Estas frases estão na primeira edição da Exposição do sistema do mundo. Laplace as escreveu na época em que se acreditava, como Newton, que a luz era feita de partículas. Se a luz é um enxame de corpúsculos, a gravidade deve puxá-los como puxa uma pedra. E então, se um astro for compacto o bastante, a luz que ele emite cairá de volta, como uma pedra jogada para cima.

A velocidade de escape

Uma pedra lançada para cima com velocidade $v$ a partir da superfície de um astro de massa $M$ e raio $R$ só escapa para sempre se a sua energia de movimento vencer a energia da gravidade:

$$\frac{1}{2}mv^2 \ge \frac{GMm}{R} \quad\Longleftrightarrow\quad v \ge v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$$

A massa da pedra se cancela: a velocidade de escape $v_e$ só depende do astro. Na Terra ela vale cerca de 11,2 km/s; no Sol, 618 km/s.

Densidade e tamanho

Para um astro de densidade $\rho$, a massa é $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$. Substituindo,

$$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho} = R\,\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}.$$

Com a densidade fixa, a velocidade de escape cresce proporcionalmente ao raio. É exatamente o raciocínio de Laplace. Partindo do Sol, com $v_e = 618$ km/s e densidade média de 1,41 g/cm³, ele imaginou um astro 250 vezes maior e com a densidade da Terra, 5,51 g/cm³:

$$v_e \approx 618 \times 250 \times \sqrt{\frac{5{,}51}{1{,}41}} \approx 618 \times 250 \times 1{,}98 \approx 305\,000 \text{ km/s},$$

um pouco mais que a velocidade da luz, $c \approx 300\,000$ km/s. A luz desse astro não escaparia.

O raio crítico

Também se pode fixar a massa e perguntar quanto o astro precisa encolher. A luz fica presa quando $v_e = c$:

$$\sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \quad\Longleftrightarrow\quad R = \frac{2GM}{c^2}.$$

Para o Sol, com $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$, $M = 1{,}99 \times 10^{30}$ kg e $c = 3{,}0 \times 10^8$ m/s:

$$R = \frac{2 \times 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}99 \times 10^{30}}{(3{,}0 \times 10^8)^2} \approx 2\,950 \text{ m}.$$

O Sol inteiro comprimido numa bola de 3 km de raio.

Exercício: a Terra como buraco negro

A massa da Terra é $5{,}97 \times 10^{24}$ kg. Qual seria o seu raio crítico $R = \frac{2GM}{c^2}$?

$R = \frac{2 \times 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{9{,}0 \times 10^{16}} \approx 8{,}8 \times 10^{-3}$ m. A Terra inteira caberia numa bola de 9 milímetros de raio, do tamanho de uma bola de gude.

Exercício: proporcionalidade

Use a fórmula $v_e = R\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}$ para responder: um astro com a densidade do Sol precisaria ter quantas vezes o raio do Sol para prender a luz?

Com a mesma densidade, $v_e$ é proporcional a $R$. Precisamos multiplicar 618 km/s até chegar a 300 000 km/s: $\frac{300\,000}{618} \approx 485$. Um astro com a densidade do Sol e cerca de 485 vezes o seu raio seria escuro. Laplace chegou a 250 porque usou uma densidade quatro vezes maior, a da Terra, e $\frac{485}{\sqrt{3{,}9}} \approx 246$.

Fontes: Pierre-Simon Laplace, Exposition du système du monde (1796), livro V, cap. VI · Pierre-Simon Laplace, “Beweis des Satzes, dass die anziehende Kraft bey einem Weltkörper so groß seyn könne, dass das Licht davon nicht ausströmen kann”, Allgemeine geographische Ephemeriden 4 (1799) · John Michell, “On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. of the Fixed Stars”, Philosophical Transactions 74 (1784) · Kip Thorne, Black Holes and Time Warps (1994).

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