Medir áreas de figuras curvas é um dos problemas mais antigos da matemática. Arquimedes, por volta de 250 a.C., mostrou que a área de um segmento de parábola é $\frac43$ da área de um triângulo inscrito nele. Foi um feito genial, mas feito sob medida: cada curva nova exigia uma ideia nova.

No século XVII, Fermat, Cavalieri, Wallis e outros já sabiam calcular a área sob $y=x^n$ para vários valores de $n$. Faltava uma regra geral. E faltava perceber algo que Newton e Leibniz perceberam, cada um por seu caminho: calcular áreas e calcular taxas de variação são operações inversas.

A área como algo que cresce

Pense na área sob a curva $y=f(x)$, desde $0$ até um ponto $x$. Chame essa área de $A(x)$. Se você empurra a borda direita de $x$ para $x+h$, a área ganha uma faixa fininha.

Essa faixa é quase um retângulo de altura $f(x)$ e largura $h$. Então

$$A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\approx f(x).$$

Quanto mais fina a faixa, melhor a aproximação. No limite:

$$A'(x)=f(x).$$

Na linguagem de Newton: a fluxão da área é a altura da curva. A área cresce exatamente na velocidade dada pela altura. Para achar a área, basta encontrar uma função cuja fluxão seja $f$, ou seja, andar no caminho inverso.

Para ser rigoroso, prendemos a faixa entre dois retângulos: um com a menor altura de $f$ no intervalo e outro com a maior. Se $f$ é contínua, essas duas alturas se aproximam de $f(x)$ quando $h\to0$, e a faixa fica espremida entre elas.

A regra do De analysi

Em 1669, Newton escreveu um pequeno tratado chamado De analysi. A primeira regra dizia, em notação de hoje, que a área sob $y=ax^{m/n}$, de $0$ até $x$, é

$$\frac{an}{m+n}\,x^{(m+n)/n}.$$

Parece complicado, mas é a regra que você conhece: a área sob $x^k$ é $\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$. Por exemplo, sob $y=x^2$ entre $0$ e $2$:

$$\int_0^2 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}.$$

Arquimedes precisaria de uma demonstração inteira para chegar a esse número. Com a regra, é uma linha.

O logaritmo como uma área

Juntando a regra com o binômio generalizado, Newton calculou áreas que ninguém sabia calcular. A hipérbole $y=\dfrac{1}{1+x}$ vira uma soma de potências:

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$

Agora basta calcular a área sob cada potência, termo a termo:

$$\int_0^x\frac{dt}{1+t}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

Essa área é o logaritmo natural $\ln(1+x)$. Com $x=0{,}1$, quatro termos dão $0{,}0953083$, e o valor certo é $0{,}0953102$.

Para que serve

Integrar a velocidade dá a distância percorrida. Integrar uma densidade dá a massa. Integrar uma taxa de vazão dá o volume que encheu o tanque. Em todos esses casos, sabemos como algo muda a cada instante e queremos saber quanto mudou no total. O cálculo liga as duas perguntas: como muda? e quanto mudou?

Exercício: calcule a área sob y = 2x entre 0 e 3

Uma primitiva de $2x$ é $x^2$. A área vale $3^2-0^2=9$. Confira com geometria: é um triângulo de base 3 e altura 6, cuja área é $\frac{3\cdot6}{2}=9$.

Exercício: use a regra de Newton para a área sob y = √x entre 0 e 4

$\sqrt x=x^{1/2}$, então a área é $\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac23x^{3/2}$. Entre $0$ e $4$: $\dfrac23\cdot8=\dfrac{16}{3}$.

Fontes: manuscritos matemáticos no Newton Project · biografia no MacTutor.

Todos os tópicos de Isaac Newton · ← Fluxões: como medir uma mudança instantânea · O método de Newton: aproximar raízes com tangentes →

Créditos das imagens.