Arcos e ângulos, sinais, valores extremos, domínio, período e gráficos das funções circulares (capítulos I e II).
Teste 1ITA-72
O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15 minutos é:
Às 10 h 15 min, o ponteiro dos minutos está em $90^\circ$ (a partir do 12) e o das horas em $300^\circ + 15 \cdot 0{,}5^\circ = 307^\circ 30'$. A diferença é $217^\circ 30'$, cujo replemento é $142^\circ 30'$.
Teste 2FUVEST-77
O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 12 minutos é:
O ponteiro dos minutos anda $6^\circ$ por minuto e o das horas, $0{,}5^\circ$. À 1 h 12 min: minutos em $72^\circ$, horas em $30^\circ + 6^\circ = 36^\circ$; o ângulo é $36^\circ$.
Teste 3ITA-73
Entre 4 e 5 horas, o ponteiro das horas de um relógio fica duas vezes em ângulo reto com o ponteiro dos minutos. Os momentos dessas ocorrências são:
Às 4 h $m$ min, os ponteiros estão em $6m$ e $120 + 0{,}5m$ graus. Ângulo reto: $120 - 5{,}5m = 90 \Rightarrow m = \frac{60}{11} = 5\frac{5}{11}$; ou $5{,}5m - 120 = 90 \Rightarrow m = \frac{420}{11} = 38\frac{2}{11}$.
Teste 4PUC-70
Sendo $\theta$ um ângulo agudo, então $\left(\frac{5\pi}{2} - \theta\right)$ pertence ao:
$\frac{5\pi}{2} - \theta$ é côngruo a $\frac{\pi}{2} - \theta$. O gabarito supõe $\theta$ agudo (o enunciado original diz apenas "positivo"): então $\frac{\pi}{2} - \theta$ está entre $0$ e $\frac{\pi}{2}$, no 1º quadrante. Para um $\theta$ positivo qualquer, nada se poderia afirmar.
Teste 5UDESC-74
Os arcos cujo cosseno é $\sqrt{2}$ podem estar nos quadrantes:
Não existe arco com cosseno $\sqrt{2}$, pois $\sqrt{2} > 1$.
Teste 6PUC-76
Todos os valores de $x$ para os quais a expressão $\operatorname{sen}\theta = \dfrac{2x - 1}{3}$ existe são:
É preciso $-1 \le \frac{2x - 1}{3} \le 1$, isto é, $-3 \le 2x - 1 \le 3$, ou $-1 \le x \le 2$.
Teste 7MACK-73
O conjunto dos números reais $a$ para os quais a equação $\operatorname{sen} x = a + a^{-1}$ tem solução real em $x$ é:
Para $a > 0$, $a + \frac{1}{a} \ge 2$; para $a < 0$, $a + \frac{1}{a} \le -2$. Em nenhum caso o valor fica em $[-1, 1]$, logo a equação nunca tem solução.
Teste 8CESCEM-77
Se $x \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$ e $\cos x = 2k - 1$, então $k$ varia no intervalo:
No 3º quadrante, $-1 < \cos x < 0$: $-1 < 2k - 1 < 0 \Rightarrow 0 < k < \frac{1}{2}$.
Teste 9PUC-75
O valor numérico da expressão $y = \cos 4x + \operatorname{sen} 2x + \operatorname{tg} 2x - \sec 8x$ para $x = \frac{\pi}{2}$ é:
O menor valor que assume a expressão $6 - \operatorname{sen} x$, para $x$ variando de $0^\circ$ a $360^\circ$, é:
O maior valor de $\operatorname{sen} x$ é 1, logo o menor valor de $6 - \operatorname{sen} x$ é 5.
Teste 11MACK-76
O valor máximo de $y = 2\operatorname{sen} x + \cos 2x$, para $0 \le x < \frac{\pi}{2}$, é:
Com $s = \operatorname{sen} x \in [0, 1[$: $y = 2s + 1 - 2s^2$, parábola de vértice em $s = \frac{1}{2}$, onde $y = 1{,}5$.
Teste 12CESCEA-73
Assinale a afirmação verdadeira:
A tangente assume todos os valores reais. Em (b) faltaria $a \ge -1$; em (c), o certo é $|a| \ge 1$.
Teste 13CESCEM-72
Os quadrantes onde estão os ângulos $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ tais que $\operatorname{sen}\alpha < 0$ e $\cos\alpha < 0$; $\cos\beta < 0$ e $\operatorname{tg}\beta < 0$; $\operatorname{sen}\gamma > 0$ e $\operatorname{cotg}\gamma > 0$ são, respectivamente:
Seno e cosseno negativos: 3º quadrante. Cosseno e tangente negativos: 2º. Seno e cotangente positivos: 1º.
Teste 14SANTA CASA-77
Se $F(x) = \cos x$, então:
Os quatro números estão em $[0, \pi]$, onde o cosseno é decrescente: $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87 < \sqrt{2} \approx 1{,}41 < 1{,}5 < \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, logo os cossenos vêm na ordem inversa. O gabarito impresso indica (c), que é justamente a ordem crescente dos números, não dos cossenos.
Teste 15CESCEM-70
Assinale a desigualdade verdadeira para todo $x$ (onde as funções estão definidas):
$(|\cos x| + |\operatorname{sen} x|)^2 = 1 + 2|\operatorname{sen} x\cos x| \ge 1$. As outras falham: em (d), por exemplo, $\sec^2 x = 1 + \operatorname{tg}^2 x > \operatorname{tg}^2 x$.
Teste 16CESCEM-73
Entre as afirmações abaixo, uma e apenas uma é verdadeira. Assinale-a:
Um quadrado nunca é negativo, e $(\operatorname{sen} x - \cos x)^2 = 1 - 2\operatorname{sen} x\cos x$. Em (a), no 1º quadrante o seno cresce e o cosseno decresce, mas no 4º ambos crescem; (b) falha em $x = \frac{\pi}{2}$; (c): o período de $\operatorname{tg}\frac{x}{4}$ é $4\pi$.
Teste 17CESCEA-73
Sejam $x$ e $y$ dois números reais tais que $0 \le x < y < \frac{\pi}{2}$. Assinale a afirmação falsa:
No 1º quadrante o cosseno é decrescente: $x < y \Rightarrow \cos x > \cos y$. A tangente e o seno são crescentes, e $2^t$ também.
Teste 18GV-70
A função $F(x) = \operatorname{sen} x \cdot \log_{\frac{1}{2}} x$ é:
Em $]0, \pi[$ o seno é positivo, e $\log_{1/2} x$ é positivo para $0 < x < 1$ e negativo para $x > 1$.
Teste 19POLI-68
Se $x$ e $y$ satisfazem $0 < x < y < \frac{\pi}{2}$ e $z = \operatorname{sen} x - \operatorname{tg} y \cdot \cos x$, então:
Fixado $x$, $\cos x > 0$ e $\operatorname{tg} y$ cresce com $y$, logo $z$ decresce. Note ainda que $z = \frac{\operatorname{sen}(x - y)}{\cos y} < 0$, o que elimina (c) e (d).
Teste 20CESCEM-73
Considere a sequência de números reais que se obtém fazendo $x = \dfrac{2}{\pi + 2n\pi}$ na expressão $y = \operatorname{sen}\dfrac{1}{x}$, $n = 0, 1, 2, \ldots$ Pode-se afirmar que:
$\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} + n\pi$, e $y = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) = (-1)^n$: a sequência alterna entre $1$ e $-1$.
Teste 21FFCLUSP-69
A solução de $\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen}^4 x + \operatorname{sen}^6 x = 3$ é ($k$ um inteiro qualquer):
Como $\operatorname{sen}^2 x \le 1$, cada parcela é no máximo 1, e a soma só vale 3 se $\operatorname{sen}^2 x = 1$, isto é, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi = (2k + 1)\frac{\pi}{2}$.
Teste 22CESCEM-73
Considere a equação trigonométrica $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} 2x = 2$. Então:
Seria preciso $\operatorname{sen} x = 1$ e $\operatorname{sen} 2x = 1$ ao mesmo tempo; mas $\operatorname{sen} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow \operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen}\pi = 0$.
Teste 23CESCEA-72
Seja $A \subset B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le 2\pi\}$ o domínio da função $f$ dada por $f(x) = \dfrac{1 - \operatorname{sen}^2 x}{1 + \operatorname{sen} x}$. Então $A$ é igual a:
Só é preciso $1 + \operatorname{sen} x \ne 0$, isto é, $x \ne \frac{3\pi}{2}$ no intervalo $[0, 2\pi]$.
Teste 24GV-74
Seja $n$ o número de pontos do conjunto $\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le 2\pi\}$ nos quais $\dfrac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{sen} 4x}$ não está definida. Então $n$ é igual a:
A expressão não está definida onde $\cos x = 0$ ou $\operatorname{sen} 4x = 0$. A segunda condição dá $x = \frac{k\pi}{4}$, $k = 0, 1, \ldots, 8$ (nove pontos), e ela já inclui $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$.
Teste 25CESCEA-75
Assinale a afirmação correta:
A secante é $\frac{1}{\cos x}$ e $|\cos x| \le 1$, logo $|\sec x| \ge 1$. As demais falham: a tangente não está definida em $\frac{\pi}{2} + k\pi$; a cotangente é decrescente e não existe em $k\pi$; a cossecante também assume valores $\le -1$; o seno não é sempre crescente.
Teste 26CESCEM-71
Qual dos seguintes conjuntos de valores de $x$ poderia constituir um domínio para a função $\log(\operatorname{sen} x)$?
O logaritmo exige $\operatorname{sen} x > 0$, o que acontece em $\left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[$ (2º quadrante). Nos outros conjuntos há pontos com $\operatorname{sen} x \le 0$.
Teste 27CESCEM-75
A função que melhor se adapta ao gráfico abaixo é:
O gráfico passa pela origem, sobe até 1 em $x = \pi$ e tem período $4\pi$: é $y = \operatorname{sen}\frac{x}{2}$, cujo período é $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
Teste 28CESCEA-73
A figura é um esboço do gráfico da função:
A curva vale 1 em $x = 0$, zero em $\pm\frac{\pi}{4}$ e $-1$ em $\pm\frac{\pi}{2}$: é $\cos 2x$.
Teste 29CESCEM-73
Qual das funções abaixo melhor se adapta ao gráfico?
O gráfico se anula em $x = k\pi$, é sempre $\ge 0$ e tem assíntotas verticais em $\frac{\pi}{2} + k\pi$: é $|\sec x| - 1$.
Teste 30MACK-77
O gráfico abaixo pode ser da função:
A função vale 0 em $0$, $\pi$ e $2\pi$ e vale 1 (com bico) em $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$: é $1 - |\cos x|$. (O gabarito impresso indica (c), mas $1 - |\operatorname{sen} x|$ vale 1 em $x = 0$, e o gráfico começa em zero.)
Teste 31GV-74
As equações abaixo representam curvas num sistema cartesiano de eixos $x$ e $y$. Só uma destas curvas não passa pelo ponto $x = -0{,}5$, $y = 2$:
O período de $a\cos(cx)$ é $\frac{2\pi}{|c|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Teste 33EAESP-GV-77
O período da função dada por $y = 3\operatorname{sen}\left(2\pi x + \frac{\pi}{2}\right)$ é:
O período é $\frac{2\pi}{2\pi} = 1$.
Teste 34SANTA CASA-73
Em relação à função $y = 2\operatorname{sen} x + 3\cos\frac{x}{2}$, pode-se afirmar que:
$2\operatorname{sen} x$ tem período $2\pi$ e $3\cos\frac{x}{2}$ tem período $4\pi$; a soma repete-se a cada $4\pi$ (mas não a cada $2\pi$, porque $\cos\frac{x + 2\pi}{2} = -\cos\frac{x}{2}$).
Teste 35CESCEA-74
O domínio, a imagem e o período da função $f(x) = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ são, respectivamente:
É preciso $x - \frac{\pi}{4} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, isto é, $x \ne \frac{3\pi}{4} + k\pi$ — o mesmo conjunto que $x \ne -\frac{\pi}{4} - k\pi$. A imagem é $\mathbb{R}$ e o período, $\pi$ (o deslocamento não altera nenhum dos dois).
Teste 36CESCEM-73
Uma reta pela origem, de coeficiente angular negativo, tem três e somente três pontos em comum com o gráfico da função $y = \operatorname{sen} x$. A menor das três abscissas correspondentes:
Para $x > 0$ a reta é negativa e só pode encontrar o seno nos arcos negativos ($\pi < x < 2\pi$, …), onde o seno começa e termina acima da reta: os encontros vêm aos pares, a menos que a reta seja tangente. Com exatamente três pontos (a origem e dois simétricos, pois as duas funções são ímpares), a reta é tangente num ponto $x_0$ com $\operatorname{tg} x_0 = x_0$, $x_0 \approx 4{,}49$, entre $\pi$ e $\frac{3\pi}{2}$. A menor abscissa é $-x_0$.
Teste 37MACK-74
A interseção dos gráficos das funções seno e tangente para $0 < x < \pi$:
$\operatorname{sen} x = \operatorname{tg} x \iff \operatorname{sen} x\left(1 - \frac{1}{\cos x}\right) = 0$. Em $]0, \pi[$, $\operatorname{sen} x \ne 0$ e $\cos x \ne 1$; não há solução.
Teste 38CESCEA-75
Dadas as curvas $y = x^2$ e $y = \cos x$, assinale, dentre as afirmações abaixo, a verdadeira:
$x^2 \ge 0$ e $\cos x \le 1$: só pode haver encontro com $|x| \le 1$. Nesse intervalo $x^2$ cresce de 0 a 1 e $\cos x$ decresce de 1 a $\cos 1 \approx 0{,}54$ (para $x \ge 0$): um ponto em cada lado, por simetria. São dois pontos ($x \approx \pm 0{,}82$).
Teste 39MACK-75
O número de pontos de interseção dos gráficos das funções $f$ e $g$ dadas por $f(x) = -|\cos x|$ e $g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$, com $-\pi < x < \pi$, é:
$g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{sen} x$. A igualdade $-|\cos x| = -\operatorname{sen} x$ exige $\operatorname{sen} x = |\cos x| \ge 0$; em $]-\pi, \pi[$ isso dá $x = \frac{\pi}{4}$ ou $x = \frac{3\pi}{4}$.
Teste 40FAAP-74
Para cada $t \in [0, \pi]$, $A(t) = 1 - \cos t$ representa a área sob o gráfico de $f(x) = \operatorname{sen} x$, acima do eixo dos $x$, entre $0$ e $t$. Com base nisso, a área sob o gráfico de $f$ (acima do eixo dos $x$) com $x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ vale:
A área entre $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{\pi}{2}$ é a diferença $A\left(\frac{\pi}{2}\right) - A\left(\frac{\pi}{4}\right) = (1 - 0) - \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
