Os números primos parecem aparecer ao acaso: 2, 3, 5, 7, 11, 13, depois um buraco até 17, 19, 23, outro até 29. Mas, olhando de longe, eles obedecem a uma regra. Chame de $\pi(x)$ a quantidade de primos menores ou iguais a $x$. Ainda adolescente, Gauss percebeu, consultando tabelas, que perto de um número $x$ a densidade dos primos é cerca de $\frac{1}{\ln x}$, e propôs a estimativa

$$\pi(x) \approx \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t},$$

a integral logarítmica. Ninguém sabia provar que ela era boa, nem explicar os desvios.

Um artigo de oito páginas

Em novembro de 1859, ao ser eleito para a Academia de Berlim, Riemann enviou o seu único artigo sobre teoria dos números: Sobre o número de primos menores que uma grandeza dada. Tem oito páginas. Nele, Riemann usou a função zeta e o produto de Euler para escrever uma fórmula exata para a contagem dos primos.

A forma mais limpa da ideia usa uma contagem um pouco modificada, que Riemann chamou de $f(x)$: conta cada primo com peso 1, cada quadrado de primo com peso $\frac{1}{2}$, cada cubo com peso $\frac{1}{3}$, e assim por diante. A fórmula de Riemann diz que

$$f(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^{\infty}\frac{dt}{t(t^2 - 1)\ln t},$$

em que a soma percorre os zeros não triviais $\rho$ da função zeta. O primeiro termo é a estimativa de Gauss; os dois últimos são pequenos. O que separa a curva suave $\operatorname{li}(x)$ da escada irregular dos primos é a soma sobre os zeros.

As ondas dos zeros

Cada zero $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma$ (supondo a hipótese de Riemann) contribui com uma oscilação de tamanho cerca de $\frac{\sqrt{x}}{\ln x}$, que ondula com frequência $\gamma$. Os zeros funcionam como as notas de um instrumento: somando cada vez mais delas, a curva suave vai se dobrando até reproduzir, degrau por degrau, a escada dos primos. É por isso que se diz que os zeros da zeta guardam a “música dos primos”.

Desfazendo a contagem com pesos, Riemann obteve uma aproximação para a contagem verdadeira, a função

$$R(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\operatorname{li}\!\left(x^{1/n}\right) = \operatorname{li}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{li}\!\left(\sqrt{x}\right) - \frac{1}{3}\operatorname{li}\!\left(\sqrt[3]{x}\right) - \cdots,$$

em que $\mu$ é a função de Möbius. Ela é muito melhor que $\operatorname{li}(x)$:

$x$ $\pi(x)$ $\frac{x}{\ln x}$ $\operatorname{li}(x)$ $R(x)$
100 25 21,7 30,1 25,7
1 000 168 144,8 177,6 168,4
10 000 1 229 1 085,7 1 246,1 1 226,9
1 000 000 78 498 72 382 78 628 78 527

O teorema dos números primos

O artigo de Riemann não demonstrava todas as afirmações que fazia; alguns passos ficaram como esboço. Mas ele deu o caminho. Em 1896, Jacques Hadamard e Charles de la Vallée Poussin, independentemente, seguiram as ideias de Riemann e provaram o teorema dos números primos: $\pi(x)$ e $\frac{x}{\ln x}$ crescem na mesma proporção, isto é, a razão entre eles tende a 1. A peça-chave foi mostrar que a zeta não tem zeros sobre a reta $\sigma = 1$.

Exercício: π(30)

Conte os primos até 30 e compare com $\frac{30}{\ln 30}$.

Os primos até 30 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29: dez. E $\frac{30}{\ln 30} = \frac{30}{3{,}401} \approx 8{,}8$. A estimativa simples erra para menos, como na tabela; $\operatorname{li}(30) \approx 13{,}0$ erra para mais.

Exercício: a contagem com pesos

Calcule a contagem de Riemann $f(10)$, em que cada primo vale 1, cada quadrado de primo $\frac{1}{2}$ e cada cubo $\frac{1}{3}$.

Primos até 10: 2, 3, 5, 7, que dão 4. Quadrados de primos até 10: 4 e 9, que dão $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Cubos: 8, que dá $\frac{1}{3}$. Não há quartas potências: $2^4 = 16$ já passa de 10. Então $f(10) = 4 + 1 + \frac{1}{3} = 5{,}33$. A relação com a contagem comum é $f(x) = \pi(x) + \frac{1}{2}\pi(\sqrt{x}) + \frac{1}{3}\pi(\sqrt[3]{x}) + \cdots = 4 + \frac{1}{2}\cdot 2 + \frac{1}{3}\cdot 1$.

Fontes: Bernhard Riemann, “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”, Monatsberichte der Berliner Akademie (novembro de 1859) · Harold M. Edwards, Riemann’s Zeta Function (1974) · Jacques Hadamard, “Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”, Bulletin de la Société Mathématique de France 24 (1896) · Marcus du Sautoy, The Music of the Primes (2003).

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