Calcular a área de um retângulo é fácil: base vezes altura. Calcular a de um triângulo também: metade disso. O problema começa quando a figura é curva. Não há como ladrilhar um círculo com quadradinhos sem sobrar ou faltar um pedaço. Durante dois mil anos, os matemáticos atacaram esse problema com a mesma ideia: aproximar a curva por figuras retas cada vez menores. O que mudou foi a maneira de escrever essa ideia.

Arquimedes e o círculo cercado

Por volta de 250 a.C., em Siracusa, Arquimedes desenhou um hexágono dentro de um círculo e outro hexágono fora dele. O comprimento da circunferência fica entre os perímetros dos dois. Depois dobrou o número de lados: $12$, $24$, $48$, $96$. Com os polígonos de $96$ lados, chegou a

$$3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17,$$

ou seja, $3{,}1408\ldots<\pi<3{,}1428\ldots$ O método, que os matemáticos do século XVII chamaram de exaustão, “esgota” a diferença entre a figura curva e as figuras retas. É uma ideia de limite, dois mil anos antes da palavra. Mas Arquimedes não tinha uma escrita para ela: cada problema exigia um argumento novo, escrito em frases e figuras, e a passagem ao infinito era evitada com uma dupla prova por absurdo.

Um nome para o número

Durante séculos, a razão entre a circunferência e o diâmetro não teve símbolo: era descrita em palavras, “a quantidade que, multiplicada pelo diâmetro, dá a circunferência”. Em 1706, o professor galês William Jones usou a letra grega $\pi$, inicial de periphéreia, a periferia, a volta. Euler adotou a letra nos seus livros, e ela se tornou padrão. Ganhar um nome mudou o estatuto do número: deixou de ser uma relação entre dois comprimentos para virar um objeto que se pode somar, elevar ao quadrado e pôr dentro de fórmulas, como $A=\pi r^2$.

Kepler e o barril de vinho

Em 1613, Johannes Kepler casou-se pela segunda vez e comprou vinho para a festa. O vendedor mediu o volume dos barris enfiando uma vara pela abertura até o canto oposto e lendo o comprimento molhado. Kepler, que já tinha descoberto as leis do movimento dos planetas, achou o método suspeito: barris de formatos diferentes podiam ter a mesma diagonal e volumes diferentes. Em 1615 publicou a Nova stereometria doliorum vinariorum, a “nova medida dos sólidos dos barris de vinho”, em que corta os barris em fatias finíssimas e soma os seus volumes.

Vinte anos depois, o italiano Bonaventura Cavalieri sistematizou essa ideia com os indivisíveis: uma figura plana é feita de infinitas linhas, um sólido é feito de infinitas superfícies. Era poderosa e perigosa. Somar infinitas coisas de espessura zero dá o quê?

A soma que vira integral

A resposta veio com Leibniz e foi, antes de tudo, uma resposta de escrita. Corte a região sob uma curva $y=f(x)$, entre $a$ e $b$, em $n$ retângulos de largura $\Delta x$. A área aproximada é

$$A\approx f(x_1)\,\Delta x+f(x_2)\,\Delta x+\cdots+f(x_n)\,\Delta x=\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

Quanto mais finos os retângulos, melhor a aproximação. No limite, quando a largura tende a zero, a soma vira

$$A=\int_a^b f(x)\,dx.$$

Olhe as duas fórmulas lado a lado. A estrutura é a mesma: um sinal de soma, uma altura $f$, uma largura. O que muda são as letras. O $\Sigma$ grego, a letra S de “soma”, vira o $\int$ latino, que também é um S, alongado. O $\Delta$ grego, a letra D de “diferença”, vira o $d$ latino. As letras gregas marcam o finito, as latinas marcam o infinitamente pequeno, e a passagem de um mundo para o outro está desenhada na própria troca de alfabeto. Os antigos textos deste site chamavam isso de mirabilis abbreviatio: a escrita da integral lembra de onde veio. Quem olha para $\int f(x)\,dx$ ainda vê os retângulos de altura $f(x)$ e largura $dx$.

O rigor dessa passagem só chegou no século XIX. Augustin Cauchy, em 1823, e Bernhard Riemann, em 1854, definiram a integral como o limite dessas somas, que hoje se chamam somas de Riemann. A notação de Leibniz, de 1675, não precisou mudar: ela já tinha o formato certo antes de a teoria saber justificá-lo.

Exercício: a área do triângulo por integral

Os antigos textos do site perguntavam: por que a área do triângulo é $\frac{B\cdot H}2$? Coloque o triângulo com um vértice na origem, a base $B$ sobre o eixo $x$ e o vértice oposto em $(B,H)$. O lado inclinado é a reta $y=\frac HB x$. Então

$$A=\int_0^B \frac HB\,x\,dx=\frac HB\cdot\frac{B^2}2=\frac{B\cdot H}2.$$

A fórmula decorada vira o resultado de uma conta.

Exercício: uma soma de Riemann à mão

Aproxime $\int_0^1 x^2\,dx$ com $4$ retângulos de largura $\frac14$, usando a altura no lado direito de cada um:

$$\frac14\left[\left(\tfrac14\right)^2+\left(\tfrac24\right)^2+\left(\tfrac34\right)^2+\left(\tfrac44\right)^2\right]=\frac14\cdot\frac{1+4+9+16}{16}=\frac{30}{64}\approx0{,}469.$$

O valor exato é $\frac13\approx0{,}333$. Com retângulos mais finos, a soma se aproxima de $\frac13$: com $100$ retângulos dá cerca de $0{,}338$.

Fontes: Arquimedes, A medida do círculo · Florian Cajori, A History of Mathematical Notations · Johannes Kepler, MacTutor · Bonaventura Cavalieri, MacTutor.

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