A grande ideia de A Geometria é dar a cada ponto do plano um par de números. Escolhemos duas retas perpendiculares (os eixos) e um ponto é localizado pelas distâncias $x$ e $y$ até elas. Hoje chamamos isso de plano cartesiano, em homenagem a ele (Cartesius era o nome de Descartes em latim).

Com coordenadas, uma figura vira uma equação. Veja três exemplos.

Uma página de *A Geometria* (1637). Já aparecem as letras a, b para valores conhecidos e as potências escritas no alto.
Uma página de A Geometria (1637). Já aparecem as letras a, b para valores conhecidos e as potências escritas no alto.René Descartes · domínio público

A distância entre dois pontos. Os pontos $P = (x_1, y_1)$ e $Q = (x_2, y_2)$ formam, com o ponto $(x_2, y_1)$, um triângulo retângulo de catetos $x_2 - x_1$ e $y_2 - y_1$. Pelo teorema de Pitágoras:

$$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$
Arraste P e Q: os catetos do triângulo são Δx e Δy, e a distância sai do teorema de Pitágoras.

A circunferência. Uma circunferência de centro $(a, b)$ e raio $r$ é o conjunto dos pontos que estão a distância $r$ do centro. Usando a fórmula acima e elevando ao quadrado:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$

Onde uma reta corta uma circunferência. Na geometria grega, isso exigiria uma construção com régua e compasso. Com a ideia de Descartes, basta resolver um sistema. Para a circunferência $x^2 + y^2 = 25$ e a reta $y = x + 1$:

$$\begin{aligned} x^2 + (x + 1)^2 &= 25 \\ 2x^2 + 2x - 24 &= 0 \\ x^2 + x - 12 &= 0 \\ (x + 4)(x - 3) &= 0. \end{aligned}$$

Os pontos de encontro são $(3, 4)$ e $(-4, -3)$. Confira: $3^2 + 4^2 = 25$ e $(-4)^2 + (-3)^2 = 25$.

Mude a reta e veja a álgebra acompanhar a geometria. Quando o $\Delta$ da equação do 2º grau fica negativo, a reta passa por fora da circunferência:

A reta y = x + b e a circunferência x² + y² = 25. Com b = 1 os pontos são (3; 4) e (−4; −3).

Uma demonstração em três linhas. As diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. Coloque um vértice na origem: os vértices são $O = (0, 0)$, $A = (a, 0)$, $B = (b, c)$ e $C = (a + b, c)$. O ponto médio da diagonal $OC$ é $\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right)$. O ponto médio da diagonal $AB$ é $\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right)$. É o mesmo ponto, então as diagonais se cortam ao meio. Nenhum desenho caprichado foi necessário: só contas.

Arraste A e B: o ponto dourado é o meio das duas diagonais ao mesmo tempo, qualquer que seja o paralelogramo.

Pierre de Fermat chegou à mesma ideia na mesma época, de forma independente, mas não publicou. Os dois viraram rivais e chegaram a trocar desafios por carta.

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