Se a notação matemática fosse um código transparente, bastaria um dicionário: $+$ quer dizer “mais”, $=$ quer dizer “igual”, e pronto. Este capítulo mostrou que não é assim. O mesmo traço é operação ou nome de número; o igual é balança e não seta; o espaço em branco multiplica em $ab$ e não multiplica em $23$; a raiz dá um valor só, embora a equação tenha dois. Ler matemática é reconstruir, a cada fórmula, as relações entre a escrita, o objeto e as regras.

Este texto junta as ferramentas do capítulo num roteiro prático.

Sete perguntas para uma fórmula desconhecida

  1. O que está escrito? Olhe os sinais, as letras, a posição de cada um (em cima, embaixo, colado, separado) e os agrupamentos. É a sintaxe.
  2. Que convenções preciso conhecer? Ordem das operações, significado de letras específicas ($\pi$, $e$, $i$), notações do assunto. Se uma convenção não é a de sempre, o texto deve dizer.
  3. A que objeto a expressão se refere? Um número, uma função, um conjunto, uma afirmação? Em que domínio? É a semântica.
  4. O que ela me pede? Calcular, resolver, provar, comparar, desenhar? “Ache $x$” e “seja $x$ qualquer” pedem coisas opostas. É a pragmática.
  5. Que transformações são permitidas? Cada passo de uma conta precisa de uma regra que o autorize, e às vezes de uma hipótese: dividir por $a$ exige $a\ne0$; $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ exige $a,b\ge0$.
  6. Há outro registro para o mesmo conteúdo? Uma figura, uma tabela, uma frase, um gráfico? O que cada um mostra melhor?
  7. O que a representação esconde? Uma figura não está em escala; uma tabela mostra só alguns valores; uma fórmula pode esconder hipóteses; um gráfico pode ter a escala esticada.

Um teste para a notação ativa

Desde o primeiro texto do livro usamos a ideia de notação ativa e notação estéril. Com as ferramentas de Peirce, dá para transformá-la num teste com três perguntas:

  • A forma reproduz relações do objeto? O $\frac{dy}{dx}$ tem forma de razão porque a derivada é um limite de razões. O $\dot y$ não reproduz nada.
  • Olhando para ela, descubro algo que não pus lá de propósito? É o critério de Peirce para o ícone. O sistema posicional deixa ver o padrão da tabuada do $9$; os numerais romanos, não.
  • Ela continua funcionando em problemas novos? As matrizes de Cayley, criadas para sistemas lineares, serviram depois para rotações, para a mecânica quântica e para os computadores.

E um aviso, que a raiz quadrada de Euler deixou claro: uma notação ativa também sugere passos errados. Quanto mais a forma convida, mais importante é saber até onde a regra vale.

A leitura completa de dy/dx

Para fechar, uma leitura de $\dfrac{dy}{dx}$ com as sete perguntas:

  1. Escrita: duas expressões, $dy$ e $dx$, empilhadas com uma barra de fração.
  2. Convenções: o $d$ não é uma variável multiplicando $y$; é o operador de Leibniz, de differentia.
  3. Objeto: a derivada de $y$ em relação a $x$, que hoje se define como um limite: $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$.
  4. O que pede: depende do contexto; pode ser calcular uma taxa, achar uma tangente, montar uma equação diferencial.
  5. Transformações: a forma de fração autoriza a regra da cadeia e a substituição em integrais, mas não autoriza tudo o que valeria para frações comuns.
  6. Outros registros: a inclinação da reta tangente ao gráfico; a notação de Lagrange, $y'$; a de Newton, $\dot y$, se a variável for o tempo.
  7. O que esconde: que o limite existe (nem toda função tem derivada) e que $dy$ e $dx$, sozinhos, só têm sentido rigoroso em teorias mais avançadas.

Uma notação de cinco caracteres guarda trezentos anos de história, uma definição, um punhado de regras e pelo menos três maneiras de desenhá-la.

Glossário

Signo: algo que, para alguém, representa outra coisa.

Significante e significado: em Saussure, a forma percebida de um signo e o conceito que ela evoca.

Arbitrariedade: a ausência de uma razão natural entre o significante e o significado; o $+$ não se parece com uma soma.

Sintaxe, semântica e pragmática: em Morris, as relações dos signos entre si, com os seus objetos e com quem os usa.

Interpretante: em Peirce, o efeito de sentido que o signo produz, que é por sua vez um novo signo.

Semiose: o processo contínuo pelo qual signos produzem interpretações, que produzem outros signos.

Ícone, índice e símbolo: em Peirce, signos que representam por semelhança, por ligação de fato e por convenção.

Registro de representação: em Duval, um sistema de signos com regras próprias: língua natural, álgebra, tabela, gráfico, figura.

Tratamento: transformação dentro de um mesmo registro, como resolver uma equação.

Conversão: passagem de um registro para outro, como desenhar o gráfico de uma fórmula.

Notação ativa e notação estéril: termos deste livro (e dos antigos textos do site, que falavam em mirabilis abbreviatio) para uma escrita que ajuda a descobrir relações novas e para uma que apenas registra o que já se sabe.

Exercício: aplique o roteiro a Σ

Leia $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}k^2$.

  1. Um $\Sigma$ grande, com $k=1$ embaixo, $4$ em cima e $k^2$ à direita.
  2. Convenção de Euler: $\Sigma$ indica soma; $k$ é um índice que percorre os inteiros de $1$ a $4$.
  3. O objeto é um número: $1+4+9+16=30$.
  4. Pede um cálculo.
  5. Pode-se, por exemplo, tirar uma constante para fora: $\sum 3k^2=3\sum k^2$.
  6. Em outro registro: a soma das áreas de quatro quadrados de lados $1$, $2$, $3$ e $4$.
  7. Esconde que o $k$ é “mudo”: $\sum_{j=1}^4 j^2$ é exatamente a mesma coisa.
Exercício: ativa ou estéril?

Compare duas escritas para “a mais b, tudo ao quadrado”: a frase em português e $(a+b)^2$. Na fórmula, trocar $b$ por $-b$ dá imediatamente $(a-b)^2$, e a expansão $a^2+2ab+b^2$ vira $a^2-2ab+b^2$ sem esforço. Na frase, a mesma descoberta exige reescrever tudo. A fórmula passa no segundo e no terceiro teste; a frase, como escrita de cálculo, é estéril. Mas a frase continua sendo a melhor escrita para dizer a fórmula em voz alta a alguém que ainda não a conhece.

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