Na equação

$$y=ax^2+bx+c$$

há cinco letras, e elas não estão no mesmo nível. O $x$ e o $y$ variam: percorrem os pontos de uma parábola. O $a$, o $b$ e o $c$ ficam parados enquanto isso acontece, mas podem ser escolhidos à vontade antes. Cada escolha dá uma parábola diferente. Letras assim se chamam parâmetros, do grego pará, ao lado, e métron, medida: o que fica ao lado da medida, regulando-a.

Mexer num parâmetro não é o mesmo que mexer numa variável. Mexer no $x$ é andar sobre a curva. Mexer no $a$ é trocar de curva: a parábola inteira se abre ou se fecha.

Uma equação, uma família

Foi a grande invenção de Viète, contada no texto 3: usar letras também para os números dados do problema. A equação

$$ax^2+bx+c=0$$

não é uma equação, é uma família de equações, uma para cada trio $(a,b,c)$ com $a\ne0$. Nela os papéis são claros: $x$ é a incógnita, e $a$, $b$, $c$ são os parâmetros. A fórmula

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

resolve a família inteira de uma vez, escrevendo a incógnita em termos dos parâmetros. Isso permite perguntas que nenhuma equação isolada permite: para quais valores dos parâmetros há duas soluções? A resposta, $b^2-4ac>0$, é uma afirmação sobre a família, não sobre uma equação.

As letras da física

A física é o reino dos parâmetros. No movimento uniforme,

$$s=s_0+vt,$$

o tempo $t$ e a posição $s$ variam durante o movimento, enquanto a posição inicial $s_0$ e a velocidade $v$ ficam fixas. Mas mude de movimento e eles mudam. Na lei dos gases ideais, $pV=nRT$, o $R$ é uma constante universal, igual para todos os gases; o $n$ é fixo para uma dada amostra; $p$, $V$ e $T$ variam. Três níveis de “parado” numa só linha, e nenhum sinal que os distinga.

O outro parâmetro

Para complicar, a palavra parâmetro tem um segundo sentido. Nas equações

$$x=\cos t,\qquad y=\operatorname{sen}t,$$

a letra $t$ é chamada de parâmetro, e as equações são paramétricas. Mas aqui o $t$ não está parado: ele corre, de $0$ a $2\pi$, e enquanto corre o ponto $(x,y)$ desenha um círculo. É como se o $t$ fosse o tempo e o ponto, um corpo em movimento. Neste sentido, o parâmetro é a variável escondida que comanda as outras duas.

Exercício: para que valores de k há uma única solução?

Em $x^2+kx+9=0$, o $x$ é a incógnita e o $k$ é um parâmetro. Há uma única solução quando o discriminante é zero: $k^2-4\cdot9=0$, isto é, $k=6$ ou $k=-6$. Para $k=6$, a solução é $x=-3$; para $k=-6$, é $x=3$. A pergunta é sobre o parâmetro, e a incógnita aparece só no fim.

Exercício: a família y = mx

Para cada valor de $m$, $y=mx$ é uma reta que passa pela origem. Todas as retas da família passam por $(0,0)$, porque ali $y=m\cdot0=0$ para qualquer $m$. Para que a reta passe também por $(2,6)$, é preciso $6=2m$, ou seja, $m=3$. Repare na troca de papéis: para achar o parâmetro, tratamos $x=2$ e $y=6$ como dados e $m$ como incógnita.

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