Euler's Eyes
2022-07-10
Máximo Divisor Comum
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O último resto diferente de zero foi 6, que é o MDC. Um quadrado de lado 6 também permite cobrir um retângulo de lados 24 e 18 sem sobras.
No post de números primos, falamos sobre os conjuntos dos divisores. Por exemplo, dado um número natural $a$, o conjunto dos divisores dos números naturais é dada por:
$$\mathcal{D}(a) $$para qualquer número $a$ diferente de zero. Também, vimos que 1 sempre pertence ao conjunto $\mathcal{D}(a)$, e $a$ também.
Encontro dos divisores de um número natural
Desta forma, o conjunto dos divisores de um número $a$ é finito. Em outras palavras, temos:
$$1\in \mathcal{D}(a) = \\{1,\dots, a\\}$$$$a\in \mathcal{D}(a) = \\{1,\dots, a\\}$$
Desta forma, a intersecção dos divisores entre dois números números naturais $a$ e $b$ quaisquer tem elemento máximo, ou seja:
$$\mathcal{D}(a)\cap \mathcal{D}(b)\quad \Rightarrow \quad \text{tem um elemento máximo, para a e b natural.}$$Por falar em máximo, a homenagem de hoje vai para Atobe Keigo do Princípe do Tenis. A seguir paresentamos um boneco do Ebay, os créditos para a figura do Atobe é site de fansub.
| Atobe Keigo | Eu sou o Máximo |
|---|---|
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Definição de máximo divisor comum
Se o encontro (intersecção) entre os divisores de números naturais quaisquer (não nulos) tem um máximo. Então podemos definir:
Definição:
Dados números naturais $a$ e $b$ quaisquer não nulos (diferente de zero). O conjuntos da intersecção (“encontro”) dos divisores de $a$ e $b$
$$\mathcal{D}(a)\cap \mathcal{D}(b)$$tem um elemento máximo, que chamaos de máximo divisor comum de $a$ e $b$.
$$mdc(a, b) = \max \\{\mathcal{D}(a)\cap \mathcal{D}(b) \\}$$
Exemplo de máximo divisor comum
Dados números naturais 12 e 18, qual é o máximo divisor comum de 12 e 18 ?
$$mdc(12,18) = ?$$| Número natural $(n)$ | $\mathcal{D}(n)$ | Divisores |
|---|---|---|
| 12 | $\mathcal{D}(12)$ | $ \\{ 1,2, 3, 4, 6, 12 \\} $ |
| 18 | $\mathcal{D}(18)$ | $ \\{ 1,2, 3, 6, 9, 18 \\} $ |
O próximo passo é verificar a intersecção entre os divisores de $12$ e $18$. Disto, obtemos:
| $\mathcal{D}(12) \cap \mathcal{D}(18)$ | $mdc(12,18)$ |
|---|---|
| $ \\{ 1,2, 3, 6 \\} $ | $ \max \\{ 1,2, 3, 6 \\} = 6 $ |
Portanto, o máximo divisor comum de $12$ e $18$ é $6$.
$$mdc(12, 18) = 6$$Propriedades de máximo divisor comum
A seguir apresentamos as propriedades de máximo divisor comum:
- Para dois números naturais $a$ e $b$ quaisquer não nulos, vale: $$mdc(a,b) = mdc(b,a)$$
Por exemplo, para $a = 12$ e $b = 18$
$$mdc(12,18) = mdc(18,12)=6$$| $mdc(12,18)$ | $mdc(18,12)$ |
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- Para um número natural $a$ não nulo $(a\neq 0)$ divisor de $b$, então $mdc(a,b)=a$
Por exemplo, para $a = 6$ e $b = 18,$ notamos que 6 é divisor de 18. Assim:
$$mdc(6,18) = 6$$
- Para dois números naturais $a$ e $b$ quaisquer não nulos, se
Então $a$ e $b$ são números primos.
Por exemplo, para $a = 2$ e $b = 3$ temos que:
$$mdc(2,3) = 1$$Portanto, 2 e 3 são primos.
Exemplo geométrico de máximo divisor comum
Para mostrar o método de máximo divisor comum, usamos o método de Euclides. Seja $a$ e $b$ números naturais não nulos. Suponhamos que $a=77$ e $b=21$.
O método é baseado em recobrirmos a região retangular com quadrados, em ue os lados são números naturais. Desta forma, basta calcularmos o $mdc(77,21) = 7$
O máximo divisor comum entre 77 e 21 obtido pelo método geométrico é dado por:
IMPA e o MDC
- Portal Impa: Máximo Divisor Comum
- Portal Impa: Propriedades do Máximo Divisor Comum
Este é um pequeno resumo sobre máximo divisor comum (mdc). No próximo post vamos apresentar o mínimo múltiplo comum.