Euler's Eyes
2026-10-14
O jogo de Hex: por que o primeiro jogador ganha
Em 1948, na sala comum do prédio de matemática de Princeton, onde professores e alunos jogavam xadrez e Go durante a tarde, John Nash apresentou um jogo novo. O tabuleiro é um losango coberto de casas hexagonais, como um favo de mel. Dois jogadores, vermelho e azul, colocam peças alternadamente, uma por vez, em casas vazias. As peças nunca se movem. O vermelho quer formar uma corrente de peças vermelhas ligando a borda de cima à de baixo; o azul, uma corrente azul ligando a esquerda à direita.
Os colegas chamaram o jogo de “Nash”. Ele não sabia que o dinamarquês Piet Hein o tinha inventado em 1942, com o nome de Polygon. Em 1952, a empresa Parker Brothers o lançou com o nome que ficou: Hex.
Nunca há empate
A primeira propriedade surpreendente: no Hex, o tabuleiro cheio sempre tem um vencedor. Não é possível preencher todas as casas sem que alguém tenha formado a sua corrente.
A intuição é esta: para impedir o vermelho de atravessar de cima a baixo, o azul precisa de uma “barreira” que corte o tabuleiro de lado a lado. E uma barreira de casas azuis que vai de um lado ao outro é exatamente uma corrente azul vencedora. Se o vermelho não ganhou, é porque o azul o bloqueou, e bloquear é ganhar.
Isso depende de as casas serem hexágonos. Num tabuleiro de quadrados, como o de xadrez, duas casas podem se tocar só pelo canto, e dois caminhos de cores diferentes podem se cruzar na diagonal sem que nenhum se complete. Nos hexágonos, três casas se encontram em cada vértice, e esse cruzamento é impossível. Em 1979, o matemático David Gale mostrou que o fato de não haver empate no Hex é equivalente ao teorema do ponto fixo de Brouwer, o mesmo tipo de resultado que Nash usaria no equilíbrio dos jogos.
O roubo de estratégia
A segunda propriedade é ainda mais estranha. Nash provou que o primeiro jogador tem uma estratégia vencedora: se jogar perfeitamente, sempre ganha. Mas a prova não diz qual é essa estratégia. O argumento, conhecido como roubo de estratégia, é assim:
- O jogo é finito e não tem empate. Então, um dos dois jogadores tem uma estratégia vencedora: uma regra que diz o que jogar em cada situação e garante a vitória contra qualquer defesa.
- Suponha, por absurdo, que quem tem a estratégia vencedora seja o segundo jogador.
- Então o primeiro jogador pode “roubá-la”. Ele faz uma primeira jogada qualquer e depois finge que é o segundo, ignorando a sua peça extra e seguindo a estratégia vencedora do segundo jogador.
- Se em algum momento a estratégia mandar jogar na casa onde está a sua peça extra, ele simplesmente joga em outra casa qualquer, e essa nova peça vira a peça extra.
- Uma peça a mais no tabuleiro nunca atrapalha no Hex. Então o primeiro jogador, seguindo a estratégia roubada, ganha.
- Mas isso contradiz a hipótese de que o segundo jogador tinha uma estratégia vencedora. Logo, quem tem a estratégia vencedora é o primeiro.
É uma prova de existência: garante que a estratégia existe, mas não a mostra. Para tabuleiros de até 9 por 9 casas, computadores já encontraram estratégias vencedoras explícitas. Para o tabuleiro padrão, de 11 por 11, ninguém sabe qual é.
Exercício: num tabuleiro de Hex de 1 por 1 e num de 2 por 2, como o primeiro jogador ganha?
No de 1 por 1, a única casa liga as quatro bordas: o primeiro jogador ganha na primeira jogada. No de 2 por 2, se o vermelho joga primeiro, a jogada vencedora é numa das duas casas dos cantos obtusos do losango: cada uma delas toca duas casas da linha seguinte, e o azul só consegue ocupar uma. Na jogada seguinte, o vermelho completa a corrente.
Exercício: o argumento do roubo de estratégia funciona para o jogo da velha? E para o xadrez?
No jogo da velha, uma peça a mais também nunca atrapalha, e o argumento mostra que o segundo jogador não pode ter estratégia vencedora. Mas o jogo da velha pode terminar empatado, e de fato termina, com jogo perfeito: o argumento só garante que o primeiro jogador não perde. No xadrez, o argumento falha logo no começo: uma peça a mais pode atrapalhar, porque às vezes a obrigação de mover é uma desvantagem, o chamado zugzwang.
Fontes: David Gale, “The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem”, The American Mathematical Monthly 86 (1979) · Martin Gardner, “The game of Hex”, em Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions (Chicago, 1988) · Sylvia Nasar, Uma Mente Brilhante (Record, 2002), cap. 11.
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