Este capítulo mostrou que uma letra pode fazer pelo menos cinco trabalhos diferentes e que a escrita quase nunca diz qual. O roteiro abaixo junta as perguntas que ajudam a descobrir.

Cinco perguntas para uma letra

  1. Ela esconde um valor ou representa qualquer valor? Se esconde, é uma incógnita, e a tarefa é descobri-la. Se representa qualquer um, a frase é uma lei geral ou uma identidade.
  2. Ela se move durante o problema? Se sim, é uma variável, e vale perguntar de quem ela depende e quem depende dela.
  3. Ela fica parada enquanto as outras se movem? Então é um parâmetro ou uma constante. Vale perguntar: fixa para sempre, como $\pi$, ou só neste problema, como o $a$ de $ax^2$?
  4. Ela está presa a um operador? Se aparece num $\Sigma$, num $\int$, num $\forall$ ou num $\mapsto$, é uma letra ligada, e pode ser trocada por outra sem mudar nada.
  5. Que palavra do texto anuncia o papel? “Ache”, “para todo”, “seja”, “quando”, “dado”. Se nenhuma aparece, a convenção do assunto decide, e é bom torná-la explícita.

A leitura completa de y = ax² + bx + c

  1. $y$ e $x$: variáveis. $x$ é a independente, $y$ a dependente. Juntas, percorrem os pontos de uma parábola.
  2. $a$, $b$ e $c$: parâmetros. Fixos durante o problema, escolhem qual parábola. O $a$ precisa ser diferente de zero, ou a curva vira reta.
  3. Mudando a pergunta, mudam os papéis. Em “onde a parábola corta o eixo $x$?”, fazemos $y=0$, e o $x$ passa a ser incógnita. Em “que parábola passa por $(1,2)$, $(2,3)$ e $(3,6)$?”, os parâmetros passam a ser as incógnitas, e $x$ e $y$ viram dados: $a+b+c=2$, $4a+2b+c=3$, $9a+3b+c=6$, que dão $a=1$, $b=-2$, $c=3$.
  4. Nenhuma letra é muda. Todas importam: trocar $a$ por $k$ exige trocar em todo o texto.

Uma linha curta, três papéis diferentes, e cada pergunta reorganiza tudo.

Glossário

  • Incógnita. Letra que representa um valor determinado, ainda desconhecido, fixado pelas condições do problema. Em $2x+1=7$, $x=3$.
  • Número generalizado. Letra que representa qualquer elemento de um conjunto, numa frase que vale para todos eles. Em $a+b=b+a$.
  • Identidade. Igualdade verdadeira para todos os valores das letras, como $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Não se resolve; se prova.
  • Variável. Letra que percorre os valores de um conjunto, em geral junto com outras letras das quais depende ou que dependem dela.
  • Variável independente e dependente. Em $y=f(x)$, escolhe-se $x$ livremente, e $y$ é determinado pela regra. A escolha pode se inverter conforme a pergunta.
  • Parâmetro. Letra fixa durante um problema, mas que pode assumir valores diferentes de um problema para outro. Escolhe um membro de uma família.
  • Constante. Letra cujo valor é sempre o mesmo, como $\pi$, $e$ ou a velocidade da luz $c$.
  • Letra livre. Letra da qual o valor de uma expressão depende. Em $\sum_{k=1}^n k$, o $n$.
  • Letra ligada (ou muda). Letra presa a um operador, que pode ser trocada por outra sem mudar o sentido. Em $\sum_{k=1}^n k$, o $k$.
  • Função. Regra que associa a cada elemento de um conjunto, o domínio, um único elemento de outro. $f$ é a função; $f(x)$ é o seu valor em $x$.
  • Captura de variável. Erro de usar a mesma letra como livre e como ligada na mesma expressão, como em $\int_0^x x\,dx$.
Exercício: aplique o roteiro

Leia $\displaystyle V(r)=\frac43\pi r^3$. O $V$ é o nome de uma função, e $V(r)$ o seu valor. O $r$ é a variável independente, o raio. O $\pi$ é uma constante. O $\frac43$ é um número. Não há letras ligadas. Se a pergunta for “que raio dá um volume de $36\pi$?”, o $r$ vira incógnita: $\frac43r^3=36$, $r^3=27$, $r=3$.

Exercício: encontre a letra ligada escondida

Na definição $f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$, qual letra é ligada? O $h$: o limite o percorre e o faz desaparecer, e trocá-lo por $\Delta x$ ou por $t$ não muda nada. O $x$ é livre, e a derivada depende dele. O $f$ é o nome de uma função, dada.

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