Euclides já tinha provado, por volta de 300 a.C., que existem infinitos números primos. Em 1737 Euler encontrou uma prova completamente diferente, que ligou os primos ao cálculo.

Para cada primo $p$, a soma de uma progressão geométrica dá

$$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$

Multiplique essas expressões para $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ Cada produto de termos tem a forma $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$. Como todo número natural se escreve de um único jeito como produto de primos, cada fração $\frac{1}{n}$ aparece exatamente uma vez:

$$\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$

Só que a soma da direita, a série harmônica, cresce sem limite: os termos de $\frac{1}{3}$ a $\frac{1}{4}$ somam mais que $\frac{1}{2}$, os de $\frac{1}{5}$ a $\frac{1}{8}$ também, os de $\frac{1}{9}$ a $\frac{1}{16}$ também, e assim por diante. Se houvesse uma quantidade finita de primos, o lado esquerdo seria um produto de finitos números, portanto um número finito. Contradição: existem infinitos primos.

Agrupando os termos em blocos de 1, 2, 4, 8… cada bloco passa de 1/2. Somando infinitos blocos, a soma não para de crescer.

Euler foi além e mostrou que até a soma $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots$ dos inversos dos primos cresce sem limite. Essa ponte entre primos e análise deu origem à teoria analítica dos números.

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