Conceito de Função

A lei de correspondência é a definição moderna para o assunto funções. Além dela, é importante definirmos conceitos de domínio e imagem, já explicados no post de introdução de funções, sob visão de René Descartes.

Homenagem a família Bernoulli

Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres quanto a família Bernoulli. Oriunda dos Países Baixos espanhóis, esta família emigrou em 1583 para Basiléia, na Suíça, fugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de membros da família conseguiu renome na Matemática e na Física, sendo quatro deles eleitos como sócios estrangeiros da Academia das Ciências, da França.

Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean, respectivamente quinto e décimo filhos de Nicolaus. Este com figura a seguir:

Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Ele teve destaque por seus estudos sobre infinitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadas na revista “Acta Eruditorum” (Anotações dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infinitas em que aparece o resultado célebre conhecido como “desigualdade de Bernoulli”.

Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas, tendo estudado várias delas: a parábola semi-cúbica, a lemniscata, a catenária, a is6crona a espiral logarítmica, dentre outros.

Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz pois todos eles colaboravam com artigos para a mesma revista, “Acta Eruditorum” (Anotações dos eruditos). Jacques é também autor do clássico “Arte de conjecturar”, considerada a mais antiga obra sobre probabilidade. Jean foi pai de Nicolas, Daniel e Jean 11.

Nicolas foi professor de Matemática em S. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em Basiléia. Outro Bernoulli. Nicolas II, primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu, em Pádua.

Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidrodinâmica e probabilidade. Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidência em Matemática, no século XVIII, fazendo juz ao nome da família.

Motivação

Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos

e as seguintes relações binárias de A em B:

Relação Binária 1

Seja a relação binária:

Com $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ e $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ temos as soluções:

Para cada elemento $x \in A,$ com exceção do 3, existe um só elemento $y \in B$ tal que $(x, y) \in \mathcal{R}_1.$

Para o elemento $3 \in A,$ não existe $y \in B$ tal que $(3, y) \in \mathcal{R}_1.$

Relação Binária 2

Seja a relação binária:

Com $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ e $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ temos as soluções:

Para cada elemento $x \in A,$ com exceção do 1, existe um só elemento $y \in B$ tal que $(x, y) \in \mathcal{R}_2.$

Para o elemento $1 \in A,$ existem dois elementos $1,-1 \in B$ tais que $(1, 1), (1, -1)\in \mathcal{R}_2.$

Relação Binária 3

Seja a relação binária:

Com $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ e $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ temos as soluções:

Para todo elemento $x \in A,$ sem exceção, existe um só elemento $y \in B$ tal que $(x, y) \in \mathcal{R}_3.$

Relação Binária 4

Seja a relação binária:

Com $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ e $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ temos as soluções:

Para todo elemento $x \in A,$ sem exceção, existe um só elemento $y \in B$ tal que $(x, y) \in \mathcal{R}_4.$

Relação Binária 5

Seja a relação binária:

Com $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ e $B = \\{-1, 0, 1, 2, 3\\}$ temos as soluções:

Para todo elemento $x \in A,$ sem exceção, existe um só elemento $y \in B$ tal que $(x, y) \in \mathcal{R}_5.$

As relações $\mathcal{R}_3, \mathcal{R}_4,\mathcal{R}_5$ que apresentam a particularidade:

• “para todo $x \in A$ existe um só $y \in B$ tal que $(x, y)$ pertence a relação”.
• recebem o nome de aplicação de $A$ em $B$ ou função definida em $A$ com imagens em $B.$

Definição de função

Definição (função): Dados dois conjuntos $A$ e $B$, não vazios, uma relação $f$ de $A$ em $B$ recebe o nome de aplicação de $A$ em $B$ ou função definida em $A$ com imagens em $B$ se, e somente se, para todo $x \in A$ existe um só $y \in B$ tal que $(x, y) \in f.$

Condição para valer a definição de função é dada a seguir:

• é necessário que todo elemento $x \in A$ participe de pelo menos um par $(x, y) \in f,$ isto é, todo elemento de $A$ deve servir como ponto de partida de flecha.

• é necessário que cada elemento $x \in A$ participe de apenas um único par $(x, y) \in f,$ isto é, cada elemento de $A$ deve servir como ponto de partida de uma única flecha.

Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das con· dicões acima:

• se existir um elemento de $A$ do qual não parta flecha alguma;
• se existir um elemento de $A$ do qual partam duas ou mais flechas.

Notação de função

Toda função é uma relção binária de $A$ em $B$, portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados.

Geralmente, existe uma setença aberta $y = f(x)$ que expressa a lei mediante a qual, dado $x \in A$, determina-se $y \in B$ tal que $(x, y) \in f$,

Então

Isso significa que, dados os conjuntos $A$ e $B,$ a função $f$ tem a lei de correspondẽncia $y = f(x)$.

Para indicarmos uma função $f,$ definida em $A$ com imagens em $B$ segundo a lei de correspondencia $y = f(x)$, usaremos uma das seguintes notações.

Exemplos

1. $f: A \rightarrow B$

   $x \mapsto 2x$

é uma função que associa a cada $x$ de $A$ um $y$ de $B$ tal que $y = 2x$

2. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

   $x \mapsto x$

é uma função que leva a cada $x$ de $\mathbb{R}$ um $y$ de $\mathbb{R}$ tal que $y = x$

3. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

   $x \mapsto x$

é uma função faz corresponder a cada $x \in \mathbb{R}$ um $y \in \mathbb{R}$ tal que $y = x.$

Se $(a, b) \in f$, como já dissemos anteriormente, o elemento $b$ é chamado de a pela aplicação ou $f$ no elemento a e indicamos:

$f(a) = b$

que se lẽ “$f$ de $a$ é igual a $b$”.

Exemplo

Seja a função

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$x \mapsto 2x + 1$ então

a) a imagem de $0$ pela aplicação $f$ é $1,$ isto é:

$f(0) = 2 • 0 + 1 = 1$

b) a imagem de $-2$ pela aplicação de $f$ é $-3,$ isto é:

$f(-2) = 2 • (-2) + 1 = -3$

c) analogamente

$f(\frac{1}{2}) = 2~•~ \frac{1}{2} + 1 = 2$

$f(\sqrt{2}) = 2 • \sqrt{2} + 1$

$f(0,7) = 2 • 0,7 + 1 = 2,4$

Exercícios

Exercício 1

Qual é a notação das seguintes funções de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$?

a) f associa cada número real ao seu oposto

b) g associa cada número real ao seu cubo

c) h associa cada número real ao seu quadrado menos 1

d) k associa cada número real ao número 2

Exercício 2

Seja $f$ a função de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 - 3x + 4$. Calcular:

a) $ f(2)$

b) $f(-\frac{1}{3})$

c) $f(-\sqrt{3})$

d) $f(1-\sqrt{2})$

Exercício 3

Seja $f$ a função de $\mathbb{Z}$ em $\mathbb{Z}$ definida por $f(x) = 3x - 2.$ Calcular:

a) $f(2)$

b) $f(-3)$

c) $f(0)$