Euler's Eyes
2026-10-11
Definições e elementos
Todos os pontos à mesma distância de um centro: a definição da circunferência cabe numa linha, e ainda assim ela esconde o número π.
Quem descobriu
O círculo é uma das formas mais antigas da história humana, das rodas da Mesopotâmia (c. 3500 a.C.) aos monumentos de pedra. A definição rigorosa é de Euclides (definições I.15 a I.18 dos Elementos): uma figura limitada por uma linha cujos pontos estão todos à mesma distância de um ponto interior, o centro. Seu terceiro postulado garante que é possível traçar uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio. Quem primeiro calculou com rigor a razão entre o contorno e o diâmetro foi Arquimedes (século III a.C.).
A história
Todas as circunferências têm a mesma forma, só mudam de tamanho. Por isso a razão entre o comprimento $C$ e o diâmetro $2R$ é sempre a mesma — o número que hoje chamamos de π. Os babilônios usavam 3 ou $3\tfrac{1}{8}$; o papiro Rhind dá um valor próximo de 3,16.
Arquimedes cercou a circunferência entre polígonos de 96 lados, um inscrito e outro circunscrito, e concluiu que π está entre $3\tfrac{10}{71}$ e $3\tfrac{1}{7}$. O símbolo π foi usado pelo galês William Jones em 1706 e popularizado por Euler.
No dia a dia
- Rodas. Uma roda gira suavemente porque todos os pontos da borda estão à mesma distância do eixo.
- Tampas de bueiro. São redondas porque um círculo não cai pela abertura em nenhuma posição.
- Pizza e relógio. Fatias de pizza são setores circulares; os ponteiros do relógio são raios que varrem o mostrador.
- Compasso e GPS. O alcance de uma antena ou de um sinal de rádio a partir de um ponto é um círculo.
Fontes: Elementos, definição I.15 · Arquimedes (MacTutor) · História de π (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoCircunferência
Circunferência é o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano (o centro) é igual a uma distância não nula dada (o raio):
$$\lambda(O, r) = \lbrace P \in \alpha \mid d_{P,O} = r \rbrace.$$Posição de um ponto. Um ponto $X$ é interno à circunferência se $d_{X,O} < r$, pertence a ela se $d_{X,O} = r$ e é externo se $d_{X,O} > r$. O conjunto dos pontos internos é o interior; o dos externos, o exterior.
DefiniçãoCorda, diâmetro, raio e arcos
- Corda é um segmento com extremidades na circunferência. Diâmetro é uma corda que passa pelo centro. Raio é um segmento do centro a um ponto da circunferência.
- Se $A$ e $B$ estão na circunferência e não são extremidades de um diâmetro, o arco menor $\overset{\frown}{AB}$ é formado por $A$, $B$ e pelos pontos da circunferência interiores ao ângulo $A\hat{O}B$; o arco maior $\overset{\frown}{AXB}$, pelos exteriores. Salvo aviso, “arco $AB$” é o menor.
- Se $A$ e $B$ são extremidades de um diâmetro, cada metade é uma semicircunferência.
DefiniçãoCírculo, setor, segmento e semicírculo
- Círculo (ou disco) é o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio: a circunferência junto com o seu interior.
- Setor circular $AOB$ é formado pelos raios $\overline{OA}$, $\overline{OB}$ e pelos pontos do círculo interiores ao ângulo $A\hat{O}B$.
- Segmento circular é a interseção do círculo com um semiplano de origem na reta $AB$ (o menor é o que não contém o centro).
- Semicírculo é a interseção do círculo com um semiplano de origem na reta de um diâmetro.