Euler's Eyes
2026-10-15
A incógnita: um lugar para o que se procura
Uma incógnita é, ao pé da letra, uma coisa in-cognita, não conhecida. Mas não é uma coisa qualquer: é um número determinado que ainda não sabemos qual é. A equação $x+3=7$ não fala de todos os números; fala de um só, e a tarefa é descobrir qual.
Nomes para o que não se sabe
Por muito tempo, a incógnita teve nome de palavra, não de letra.
- Por volta do ano 250, Diofanto de Alexandria, na Aritmética, chamava a incógnita de arithmós, “o número”, e a abreviava com um sinal parecido com o sigma final, $\varsigma$. Tinha também abreviações para o quadrado da incógnita, $\Delta^{\Upsilon}$ (dýnamis, potência), e para o cubo, $K^{\Upsilon}$ (kýbos).
- Em Bagdá, por volta de 820, al-Khwarizmi a chamava de shay’, coisa, e o quadrado dela de māl, riqueza. Ele escrevia tudo por extenso, sem nenhum símbolo.
- Nos séculos XV e XVI, os italianos traduziram shay’ por cosa, e os algebristas alemães que copiaram os italianos ganharam o apelido de cossistas. Em 1544, Michael Stifel ainda usava sinais diferentes para a coisa, o seu quadrado e o seu cubo:
Nesses sinais, o quadrado e o cubo da coisa não se parecem com a coisa. É uma notação estéril, no sentido deste livro: para saber que o cubo vezes o quadrado dá a quinta potência, era preciso decorar uma tabela. Quando Descartes escreveu $x$, $x^2$, $x^3$, a regra $x^3\cdot x^2=x^5$ passou a estar visível nos expoentes. O capítulo 1 conta essa passagem com mais detalhe, no texto da retórica ao símbolo.
Uma página de Diofanto
Em 1621, o francês Claude-Gaspard Bachet publicou a Aritmética de Diofanto em grego, com a tradução em latim ao lado. Esta é a página do problema II.8: dividir um quadrado dado em dois quadrados.
No latim de Bachet, a incógnita é N, de numerus, e o seu quadrado é Q, de quadratus: “Ponatur primus 1 Q”, seja o primeiro quadrado $1Q$. Em linguagem de hoje, para dividir $16$ em dois quadrados, Diofanto toma o primeiro como $x^2$ e o segundo como $16-x^2$, e escolhe uma forma para o lado do segundo, $2x-4$. A condição é
$$16-x^2=(2x-4)^2=4x^2-16x+16,$$e daí $5x^2=16x$, ou seja, $x=\frac{16}5$. Os dois quadrados são $\frac{256}{25}$ e $\frac{144}{25}$, que somam $\frac{400}{25}=16$. Foi ao lado desse problema que Fermat escreveu que, para cubos e potências maiores, a divisão é impossível.
A incógnita como índice
Na linguagem de Peirce (veja o capítulo 2), a incógnita funciona como um índice: ela aponta para um objeto que existe, mas que ainda não foi visto, como um dedo apontando para uma porta fechada. O $x$ não descreve o número; apenas reserva o lugar dele. Quem diz qual é o número são as condições que a equação impõe.
Por isso uma equação é, no fundo, uma pergunta: “que número tem esta propriedade?”. E as respostas possíveis são variadas:
| Equação | Respostas |
|---|---|
| $x+3=7$ | uma só: $4$ |
| $x^2=9$ | duas: $3$ e $-3$ |
| $x^2=-1$ | nenhuma entre os números reais |
| $x+1=x+1$ | todas: é uma identidade, não uma pergunta |
| $x=x+1$ | nenhuma: é uma contradição |
Nas duas últimas linhas, a letra deixa de ser incógnita. Em $x+1=x+1$, o $x$ é qualquer; em $x=x+1$, não há o que procurar. A mesma escrita, $\square=\square$, pode ser uma pergunta, uma lei ou um absurdo.
Exercício: refaça o problema de Diofanto com outro lado
Divida $16$ em dois quadrados tomando o lado do segundo como $3x-4$. A condição é $16-x^2=(3x-4)^2=9x^2-24x+16$, então $10x^2=24x$ e $x=\frac{12}5$. Os quadrados são $\frac{144}{25}$ e $16-\frac{144}{25}=\frac{256}{25}$, os mesmos de antes, em outra ordem. Diofanto sabia que a escolha do lado é livre: cada escolha dá uma solução, e há infinitas.
Exercício: incógnita ou não?
Em quais destas frases o $x$ é uma incógnita? (a) $2x+1=7$. (b) $2(x+1)=2x+2$. (c) $x^2+1=0$, nos números reais.
Em (a), sim: só $x=3$ serve. Em (b), não: a igualdade vale para todo $x$, é uma identidade. Em (c), a frase tem forma de pergunta, mas a resposta é “nenhum número real”: a incógnita aponta para uma porta que, nos reais, não abre para nada. Nos números complexos, abre para $i$ e $-i$.
Índice do capítulo · ← Uma letra, cinco papéis · Letras que generalizam: de 3 + 5 = 5 + 3 a a + b = b + a →