Neste grupo de posts o objetivo é apresentarmos os números não racionais, que chamamos de irracionais. Para isto é importante falarmos da constante de Pitágoras $\sqrt{2}$. Até o surgimento desta constante, a escola pitagórica seguiu os passos dos sumérios, academia de Platão, escola de Alexandria entre outros.

sumério

Definição histórica da Raiz Quadrada

Em posts introdutórias, vimos conceitos de raiz quadrada, que nada mais é que lado do quadrado.

A palavra

  • raiz quadrada

Em Latim representa

  • lado do quadrado

Por exemplo, tomamos a $\sqrt{4}=2$, a resposta é em módulo. Esta é uma informação que foi perdida ao longo do tempo, isto é, tornamos uma notação estéril. O leitor verá que as notações semióticamnete ativas, são as que evoluíram para o avanço da matemática.

sumério

A raiz quadrada sob ótica da linguagem latina (latim)

radix quadratum 4 aequalis 2

Que traduzimos como:

o lado do quadrado de área 4 é igual a 2

Representação da raiz quadrada

Como dito, a informação foi perdida ao longo do tempo:

radix quadratum 4 aequalis 2

rad quad 4 aq 2

ra qua 4 aq 2

r q 4 aq 2

De repente o r engole o número:

$$ \sqrt{4}=2$$

a

Constante de Pitágoras

O primeiro número irracional a aparecer na história foi o $\sqrt{2}$ com os Sumérios, que foram os primeiros a habitarem a Mesopotâmia, muito antes do Babilônicos. Ele já eram conhecido e calculavam seu valor numérico, conhecido como tablete sumeriano. A seguir temos um vídeo que conta um pouco desta história.

Tablete Sumério

O tablete sumeriano é representado por um quadrado com suas duas diagonais e três números escritos no sistema na base 60. O número sumério é construído da seguinte forma:

  • o número antes do ponto e vŕgula (;) é inteiro
  • os números seguintes são separados por vírgula (,)
  • todas as partes são divididas por 60

Por exemplo:

$$0;30 = \dfrac{0}{60} + \dfrac{30}{60} = 0 + \dfrac{1}{2} = 0.5$$ sumério

Constante e razão suméria

Os sumérios usavam o que hoje chamamos de teorema de pitágoras, antes de pitágoras.

Sejam

$$a=\\{0;30\\}_{60}$$$$b=\\{1;24,51,10\\}_{60}$$$$c=\\{0;42,25,35\\}_{60}$$

Os sumérios descobriram que a multiplicação de $a~.~b$ é igual a $c$.

Mirabilis Abreviatio Pitágoras

Com a diagonal do quadrado, Pitágora chegou um dos resultados mais importantes da geometria, teoria de grupos e álgebra linear.

$$ \begin{aligned} c &= a~.~b =\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned} $$

Logo, temos que

$$\sqrt{2} \approx \\{1;24,51,10\\}_{60} = 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60} + \frac{10}{60} \approx 1,414212966296$$ sumério
$$ \begin{aligned} \text{Diagonal }^2 = ~c^2 &= a^2 + a^2\\ &=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \\ &= 2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \end{aligned} $$

Logo Diagonal $ = c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

sumério

Em qualquer quadrado vale:

$$\dfrac{\text{diagonal} }{\text{lado} } = \dfrac{\dfrac{\sqrt{2} }{2} }{\dfrac{1}{2} }= \text{constante } = \sqrt{2}$$ sumério

A não é racional.

Constante de Pitágioras não racional por Aristóteles

Aristóteles grande filósofoi grego, demonstrou a não racionalidade do $\sqrt{2}$. A técnica utilizada por Aristóteles é escrever um número inteiro como números pares e ímpares.

Este conceito foi muito explicado no post de números pares e ímpares. Lembramos:

Par

$$n= 2q $$

Ímpar

$$n = 2q + 1$$

para algum $q$ um número inteiro.

O próximo passo é obtermos alguns resultados que ajudam a mostrar que $\sqrt{2}$ é irracional.

Proposição 1: O quadrado de todo número ímpar é ímpar.

Demonstração:

De fato, seja $p = 2q + 1$ um número ímpar. Lembra da balança? Com isso, vamos usar essa técnica. Basta elevarmos ao quadrado dos dois lados e usamos os quadrados notáveis.

$$ \begin{aligned} p^2 &= (2q+1)^2\\ &= 4q^2 + 4 q + 1\\ &= 2 \underbrace{(2q^2 + 2q )}_{t ~ \text{inteiro} }+ 1\\ &= 2t+ 1 \qquad ,t~\text{inteiro}\\ \end{aligned} $$

Portanto, $p^2$ é inteiro ímpar.

$\square$

Proposição 2: O quadrado de todo número par é par.

Demonstração:

Seja $p=2q,$ suponhamos $p$ ímpar. Da proposição 1 temos que seu quadrado $p^2$ é ímpar, $p^2 = (2q)^2 = 4q^2 = 2 (2q^2) = 2t$ para $t$ inteiro, que é par (absurdo).

Portanto, $p$ é par.

$\square$

Com estes dois resultados podemos provar que $\sqrt{2}$ não é racional.

sumério

Teorema 1: Por Aristóteles $\sqrt{2}$ não é racional.

Demonstração:

De fato, suponha por absurdo que $\sqrt{2}$ seja racional. Com isso, existem inteiros $p$ e $q$, com $q$ diferente de zero. E podemos escrever como:

$$c=\dfrac{p}{q} = \sqrt{2}$$

Ao elevarmos os dois lados ao quadrado temos que

$$c^2 = 2, \quad \text{}{que é par} $$

Da proposição 2 temos que $c$ é para, consequentemente podemos supor que $p$ e $q$ não são ambos pares.

  • $\dfrac{\text{par} }{\text{par} }= \dfrac{2a}{2b} = \dfrac{a}{b} \neq 2$
  • $\dfrac{\text{par} }{\text{ímpar} }= \dfrac{2a}{2b +1 } = 2 \left(\dfrac{a}{2b + 1}\right) \overset{a=2b+1}{=} 2$

Do fato de

$$\dfrac{p^2}{q^2}=2 \qquad \Rightarrow \qquad p^2=2q^2 \qquad (\star)$$

Disto temos que $p^2$ é par, que implica $p$ é par. Se p é par, podemos escrver como $p=2m.$

Ao substituirmos em $\star$ temos que:

$$ \begin{aligned} 2q^2 &= p^2\\ &= (2m)^2 \\ &= 4 m^2 \\ \end{aligned} $$

Logo, $q^2 = 2m^2$ também é par, que é um absurdo.

Portanto, $\sqrt{2}$ não é racional.

$\square$