Uma identidade é uma igualdade que vale para todos os valores em que os dois lados fazem sentido. Demonstrar identidades é o grande treino de manipulação da trigonometria: cada passo usa uma relação já provada.

A história

Para demonstrar identidades é preciso escrever as funções de forma curta. Até o século XVII isso não existia: cada relação era dita em palavras — “o seno do complemento do arco”, “a tangente do arco dobrado” —, e uma identidade de uma linha ocupava um parágrafo. As abreviações apareceram aos poucos: Gunter usou sin numa figura em 1624, o francês Pierre Hérigone o imprimiu num livro em 1634, e o inglês William Oughtred escrevia algo como s co arc para o cosseno. Foi Euler, na Introductio (1748), quem fixou o uso de sin., cos., tang. como símbolos de quantidades que se somam, multiplicam e elevam ao quadrado — e é esse uso que permite manipular uma identidade como uma expressão algébrica.

  1. 1620
    Gunter propõe co-sinus e co-tangens.
  2. 1624
    Gunter usa a abreviação sin numa figura.
  3. 1626
    Albert Girard escreve tan e sec nas suas tábuas.
  4. 1634
    Hérigone imprime sin num livro.
  5. 1657
    Oughtred, na Trigonometria, escreve s co arc para o cosseno.
  6. 1748
    Euler fixa sin., cos., tang. como símbolos de quantidades.
A régua de cálculo de Oughtred: duas escalas logarítmicas de Gunter que deslizam uma sobre a outra. Somar comprimentos é somar logaritmos, isto é, multiplicar.

Fontes: Oughtred (MacTutor) · Trigonometric functions (MacTutor) · F. Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. II (1929).

No dia a dia

  • Distâncias no mapa. Os aplicativos de navegação calculam distâncias na superfície da Terra com a fórmula do haversine, que usa a identidade $\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$ para evitar erros de arredondamento em distâncias curtas.
  • Tomada de 127 V. A tensão da tomada oscila como uma senoide; a identidade $\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ mostra que a média do quadrado é metade do pico ao quadrado. Por isso 127 V “eficazes” correspondem a um pico de cerca de $127\sqrt{2} \approx 180$ V.
  • Fotos e músicas compactadas. Os formatos JPEG e MP3 decompõem imagens e sons em somas de cossenos; as identidades trigonométricas é que garantem que essa decomposição pode ser desfeita.
A tensão da tomada e o seu quadrado: a identidade do arco duplo explica por que 180 V de pico valem 127 V eficazes.

Teoria

Definição

DefiniçãoFunções idênticas

Sejam $f$ e $g$ duas funções de domínios $D_1$ e $D_2$, respectivamente. Dizemos que $f$ é idêntica a $g$, e indicamos $f \equiv g$, se, e somente se, $f(x) = g(x)$ para todo $x$ em que ambas as funções estão definidas:

$$f \equiv g \iff f(x) = g(x),\ \forall x \in D_1 \cap D_2.$$

Exemplos

  1. $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = (x + 1)^2 - (x - 1)^2$ e $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = 4x$ são idênticas, pois

    $$f(x) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 4x = g(x),\ \forall x \in \mathbb{R}.$$

  2. $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x + 1$ e $g\colon \mathbb{R} - \{1\} \to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ são idênticas, pois

    $$g(x) = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1 = f(x),\ \forall x \in \mathbb{R} - \{1\}.$$

    Repare: os domínios são diferentes, mas a igualdade vale na intersecção deles.

  3. $f(x) = \operatorname{sen}^2 x$ e $g(x) = 1 - \cos^2 x$, ambas de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, são idênticas: $f(x) = \operatorname{sen}^2 x = 1 - \cos^2 x = g(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

  4. $f\colon \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right\} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = \sec^2 x - \operatorname{tg}^2 x$ e $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = 1$ são idênticas, pois

    $$f(x) = \sec^2 x - \operatorname{tg}^2 x = (1 + \operatorname{tg}^2 x) - \operatorname{tg}^2 x = 1 = g(x),\ \text{para todo } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi.$$

Como demonstrar uma identidade

Para demonstrar uma identidade trigonométrica podemos aplicar qualquer fórmula já estabelecida — que também é uma identidade: as relações fundamentais e, nos próximos capítulos, as fórmulas de redução, de adição, de multiplicação, de divisão e de transformação em produto. Nos exercícios deste capítulo, só podemos usar as relações fundamentais.

PropriedadeTrês processos

Conforme a dificuldade, escolhemos o método mais adequado:

  1. Partimos de um dos membros (em geral o mais complicado) e o transformamos no outro.

  2. Transformamos separadamente o 1º membro ($f$) e o 2º membro ($g$), chegando com ambos à mesma expressão $h$. O método vale porque

    $$f \equiv h \ \text{ e } \ g \equiv h \;\Longrightarrow\; f \equiv g.$$

  3. Construímos a diferença $h = f - g$ e provamos que $h \equiv 0$. O método vale porque

    $$f - g \equiv 0 \iff f \equiv g.$$

ExemploOs três métodos em ação

  • 1º método — exercício 93: partimos de $(1 + \operatorname{cotg}^2 x)(1 - \cos^2 x)$ e chegamos a 1.
  • 2º método — exercício 95: os dois membros de $(1 - \operatorname{tg} x)^2 + (1 - \operatorname{cotg} x)^2 = (\sec x - \operatorname{cossec} x)^2$ se reduzem a $\dfrac{1 - 2\operatorname{sen} x \cos x}{\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x}$.
  • 3º método — exercício 96: a diferença entre os dois membros se anula.

Veja as resoluções na lista do capítulo.

AtençãoCuidado com os domínios

Uma identidade só precisa valer onde ambos os membros estão definidos. Ao dividir por $\operatorname{sen} x$ ou $\cos x$, por exemplo, fica implícito que $x \ne k\pi$ ou $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$. E nunca “passe para o outro lado” a igualdade que se quer provar: partir da tese e chegar a algo verdadeiro não demonstra nada, a menos que todas as passagens sejam reversíveis.