Na carta de 1643 à princesa Elisabeth, Descartes tratou de quatro círculos tangentes dois a dois. Chame de curvatura de um círculo o inverso do raio, $k = \frac{1}{r}$. O teorema diz que as curvaturas satisfazem

$$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$

Aplicação: três moedas iguais de raio 1 se tocam duas a duas. Qual o raio do círculo que cabe no buraco entre elas? Com $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ e $k_4 = k$:

$$\begin{aligned} (3 + k)^2 &= 2(3 + k^2) \\ 9 + 6k + k^2 &= 6 + 2k^2 \\ k^2 - 6k - 3 &= 0 \\ k &= 3 \pm 2\sqrt{3}. \end{aligned}$$
  • Com o sinal $+$: $k = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46$, ou seja, raio $\approx 0{,}155$. É o círculo pequeno no meio.
  • Com o sinal $-$: $k = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46$. A curvatura negativa indica um círculo que envolve os outros três, de raio $\approx 2{,}155$.
Três moedas, o círculo do meio e o que envolve tudo. Aplicando o teorema de Descartes de novo em cada buraco, surge a gaxeta de Apolônio.

Confira pela geometria: os centros das moedas formam um triângulo equilátero de lado 2, cujo centro está a $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}155$ de cada vértice. O círculo do meio tem raio $1{,}155 - 1 = 0{,}155$, e o que envolve tudo tem raio $1{,}155 + 1 = 2{,}155$. As contas batem.

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