Euler's Eyes
2026-10-12
Teorema dos senos
Num triângulo qualquer, cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá sempre o mesmo número: o diâmetro da circunferência circunscrita.
Quem descobriu
A lei dos senos nasceu na astronomia, para triângulos desenhados na esfera celeste. A versão esférica foi obtida no século X por astrônomos do mundo islâmico — entre eles Abu al-Wafa e Abu Nasr Mansur. A forma para triângulos planos aparece de modo sistemático no Tratado do quadrilátero (1260) do persa Nasir al-Din al-Tusi, que fez da trigonometria uma disciplina independente da astronomia. Na Europa, ela se espalhou com o livro Sobre triângulos de todos os tipos, de Regiomontanus, escrito em 1464 e impresso em 1533.
A história
Antes do seno, os astrônomos trabalhavam com cordas: Hiparco e Ptolomeu tabelaram a corda de cada arco de uma circunferência. A corda de um arco é o dobro do seno da metade do ângulo central — por isso a lei dos senos é, no fundo, um resultado sobre cordas de uma circunferência, e a demonstração deste tópico usa exatamente a circunferência circunscrita.
Com a lei dos senos, basta medir uma distância e dois ângulos para calcular os outros lados de um triângulo. Foi esse o princípio da triangulação, que mediu países inteiros entre os séculos XVII e XIX.
No dia a dia
- Torres de vigia. Duas torres que avistam a mesma fumaça medem os ângulos de visada; com a distância entre as torres, a lei dos senos localiza o incêndio.
- Topografia. Para medir a largura de um rio, mede-se uma base numa margem e os ângulos até um ponto da outra margem.
- Astronomia. A distância de estrelas próximas é calculada por triângulos enormes, com base no diâmetro da órbita da Terra.
- Engenharia. A decomposição de forças em treliças usa a lei dos senos no triângulo das forças.
Fontes: Nasir al-Din al-Tusi (MacTutor) · Abu al-Wafa (MacTutor) · Regiomontanus (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaTeorema dos senos (lei dos senos)
Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo:
$$\frac{a}{\operatorname{sen}A} = \frac{b}{\operatorname{sen}B} = \frac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R.$$Ver a demonstração
Seja $O$ o centro da circunferência circunscrita ao triângulo $ABC$ e $R$ o seu raio. Traçando o diâmetro $\overline{BD}$, os ângulos inscritos $\hat D$ e $\hat A$ enxergam o mesmo arco $\overset{\frown}{BC}$; logo $\hat D = \hat A$. O triângulo $DCB$ é retângulo em $C$ (está inscrito numa semicircunferência), então
$$\operatorname{sen} D = \frac{a}{2R} \;\Rightarrow\; \operatorname{sen} A = \frac{a}{2R} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\operatorname{sen}A} = 2R.$$Procedendo de modo análogo, $\dfrac{b}{\operatorname{sen}B} = 2R$ e $\dfrac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R$.
AtençãoNota
Se $\hat A$ for obtuso, em lugar de $\hat D = \hat A$ teremos $\hat D = 180^{\circ} - \hat A$, o que não altera o resultado, pois $\operatorname{sen}(180^{\circ} - A) = \operatorname{sen}A$. Se $\hat A$ for reto, a relação também vale, pois $\operatorname{sen}90^{\circ} = 1$ e $a = 2R$.