Euler's Eyes
2026-10-11
Ângulo reto, agudo e obtuso — medida
Por que uma volta completa tem 360 graus, e não 100? A resposta está na astronomia da Mesopotâmia.
Quem descobriu
Os nomes reto, agudo e obtuso vêm de Euclides, que os define nos Elementos (definições I.10 a I.12): reto é o ângulo igual ao seu adjacente suplementar; agudo, o menor que o reto; obtuso, o maior. A medida em graus tem outra origem, a astronomia babilônica, como conta a curiosidade “Por que 360 graus?”, mais abaixo. Já as palavras minuto e segundo vêm das traduções latinas de Cláudio Ptolomeu (século II d.C.).
A história
Euclides nunca mediu ângulos em graus. Para ele, o ângulo reto era a unidade natural: um ângulo era “igual a dois retos” ou “menor que um reto”, e seu quarto postulado afirma que todos os ângulos retos são iguais. A medida numérica veio dos astrônomos, que precisavam localizar estrelas e planetas no céu.
No Almagesto, Ptolomeu subdividiu cada grau em frações de base 60. Nas traduções latinas, elas viraram partes minutae primae e partes minutae secundae — “primeiras partes pequenas” e “segundas partes pequenas” —, de onde vêm minuto e segundo.
Na Revolução Francesa, junto com o metro, tentou-se dividir o ângulo reto em 100 partes, o grado. A unidade sobrevive no modo “GRAD” das calculadoras científicas, mas os graus venceram.
No dia a dia
- Esquadro do pedreiro. Garante que paredes e pisos se encontrem em ângulo reto.
- Coordenadas geográficas. Latitude e longitude são ângulos medidos em graus, minutos e segundos.
- Manobras. “Dar um 180” é inverter o sentido; um “360” no skate é uma volta completa.
- Bússola. O rumo de um avião ou navio é dado em graus a partir do Norte: 90° é Leste, 180° é Sul.
Fontes: Elementos, postulado 4 · Ptolomeu (MacTutor) · Elementos, definição I.10.
Teoria e construções
DefiniçãoSuplementar adjacente; reto, agudo e obtuso
Dado o ângulo $A\hat{O}B$, a semirreta $\overrightarrow{OC}$ oposta a $\overrightarrow{OA}$ e a semirreta $\overrightarrow{OB}$ determinam o ângulo $B\hat{O}C$, chamado suplementar adjacente (ou suplemento adjacente) de $A\hat{O}B$.
- Ângulo reto é todo ângulo congruente ao seu suplementar adjacente.
- Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
- Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto.
Volte à figura do transferidor e use o botão “Suplementar adjacente”: quando $A\hat{O}B$ e $B\hat{O}C$ ficam iguais, cada um mede $90^{\circ}$ — é o ângulo reto.
DefiniçãoMedida de um ângulo (amplitude)
A medida de um ângulo $A\hat{O}B$, indicada por $m(A\hat{O}B)$, é um número real positivo tal que:
- ângulos congruentes têm medidas iguais e vice-versa;
- se um ângulo é maior que outro, sua medida é maior;
- ao ângulo soma corresponde a soma das medidas: $\widehat{rt} = \widehat{ab} + \widehat{cd} \Rightarrow m(\widehat{rt}) = m(\widehat{ab}) + m(\widehat{cd})$.
A medida de um ângulo também se chama amplitude.
Unidades: grau, minuto, segundo e grado
| Unidade | Definição | Relação |
|---|---|---|
| grau ($1^{\circ}$) | submúltiplo do ângulo reto segundo 90 | ângulo reto $= 90^{\circ}$ |
| minuto ($1^{\prime}$) | submúltiplo do grau segundo 60 | $1^{\circ} = 60^{\prime}$ |
| segundo ($1^{\prime\prime}$) | submúltiplo do minuto segundo 60 | $1^{\prime} = 60^{\prime\prime}$ |
| grado ($1\,\text{gr}$) | submúltiplo do ângulo reto segundo 100 | ângulo reto $= 100\,\text{gr}$ |
Um ângulo agudo mede menos de $90^{\circ}$; um obtuso, mais de $90^{\circ}$. A medida $\alpha$ de um ângulo satisfaz $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Do grado destacam-se o centígrado ($0{,}01\,\text{gr}$, “minuto de grado”) e o decimiligrado ($0{,}0001\,\text{gr}$, “segundo de grado”).
DefiniçãoComplementares e suplementares
- Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é $90^{\circ}$. Um é o complemento do outro: o complemento de $x$ é $90^{\circ} - x$.
- Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é $180^{\circ}$. Um é o suplemento do outro: o suplemento de $x$ é $180^{\circ} - x$.
Estendendo o conceito, temos o ângulo nulo (lados coincidentes, $0^{\circ}$) e o ângulo raso (lados opostos, $180^{\circ}$). Com eles, $0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$.
TeoremaÂngulos opostos pelo vértice
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.
Demonstração
- Hipótese: $A\hat{O}B$ e $C\hat{O}D$ são o.p.v. Tese: $A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D$.
- Seja $x$ a medida de $A\hat{O}B$, $y$ a de $C\hat{O}D$ e $z$ a de $B\hat{O}C$.
- $A\hat{O}B$ e $B\hat{O}C$ são adjacentes e seus lados não comuns são opostos: $x + z = 180^{\circ}$.
- Do mesmo modo, $C\hat{O}D$ e $B\hat{O}C$: $y + z = 180^{\circ}$.
- Logo $x + z = y + z$, ou seja, $x = y$ e $A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D$.