Uma reta não tem começo nem fim. Na prática, quase sempre trabalhamos com pedaços dela: segmentos e semirretas.

Quem descobriu

Os gregos pensavam primeiro no pedaço. Nos Elementos (c. 300 a.C.), Euclides fala de “linhas retas finitas” — os nossos segmentos — e seu segundo postulado permite prolongar uma reta finita continuamente. Ou seja, para ele a reta ilimitada era algo que se obtinha estendendo um segmento quanto fosse preciso. Os nomes “segmento” e “semirreta”, com as definições usadas na escola, são do vocabulário moderno, fixado pelos livros de geometria dos séculos XIX e XX.

Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público

A história

A cautela dos gregos com o infinito tem origem filosófica. Aristóteles distinguia o infinito “em potência” — que sempre pode crescer mais um passo — do infinito “em ato”, tomado como algo completo. Os postulados de Euclides respeitam essa distinção: falam em prolongar, nunca em uma reta infinita já pronta.

Aristóteles, representação artística posterior.
Aristóteles, representação artística posterior.Cópia de uma obra de Lisipo · Wikimedia Commons · Domínio público
Fragmento dos Elementos conhecido como P.Oxy. I 29, encontrado em Oxirrinco. O texto e a figura registram a transmissão antiga da geometria euclidiana.
Fragmento dos Elementos conhecido como P.Oxy. I 29, encontrado em Oxirrinco. O texto e a figura registram a transmissão antiga da geometria euclidiana.Texto de Euclides; copista antigo não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público.

A semirreta ganhou importância com a geometria moderna, porque é o tipo certo de objeto para definir ângulos: dois lados que partem de um mesmo vértice e seguem indefinidamente num só sentido.

No dia a dia

  • Raio de luz. Um laser ou o facho de uma lanterna partem de um ponto e seguem num sentido: são modelos de semirreta.
  • Régua, trena e fita métrica. Medem segmentos — sempre há um começo e um fim.
  • Faixa de pedestres e vagas. As marcações pintadas no asfalto são segmentos alinhados.
  • Visão em jogos. Em jogos eletrônicos, o “raio de mira” que detecta se um alvo foi atingido é calculado como uma semirreta saindo da câmera.

Fontes: Elementos, postulado 2 (D. Joyce) · Euclides (MacTutor).

Teoria e construções

DefiniçãoSegmento de reta

Dados dois pontos distintos $A$ e $B$, o segmento de reta $\overline{AB}$ é a reunião do conjunto $\lbrace A, B \rbrace$ com o conjunto dos pontos que estão entre $A$ e $B$:

$$\overline{AB} = \lbrace A, B \rbrace \cup \lbrace X \mid X \text{ está entre } A \text{ e } B \rbrace$$

$A$ e $B$ são as extremidades do segmento; os pontos entre eles são os pontos internos. Se $A = B$, dizemos que $\overline{AB}$ é o segmento nulo.

DefiniçãoSemirreta

Dados dois pontos distintos $A$ e $B$, a semirreta $\overrightarrow{AB}$ é a reunião do segmento $\overline{AB}$ com o conjunto dos pontos $X$ tais que $B$ está entre $A$ e $X$:

$$\overrightarrow{AB} = \overline{AB} \cup \lbrace X \mid B \text{ está entre } A \text{ e } X \rbrace$$

O ponto $A$ é a origem da semirreta. Se $A$ está entre $B$ e $C$, as semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ são opostas.

Use os botões para comparar os entes que dois pontos determinam. O último botão mostra uma igualdade importante: o segmento é a parte comum das duas semirretas.

Reta, segmento, semirretas e semirretas opostas. Arraste $A$ e $B$ pela reta.

ResumoDois pontos distintos A e B determinam

Ente Notação Começa Termina
reta $\overleftrightarrow{AB}$ não tem começo não tem fim
segmento $\overline{AB}$ em $A$ em $B$
semirreta $\overrightarrow{AB}$ em $A$, passando por $B$ não tem fim
semirreta $\overrightarrow{BA}$ em $B$, passando por $A$ não tem fim

Além disso, $\overline{AB} = \overrightarrow{AB} \cap \overrightarrow{BA}$.