Euler's Eyes
2026-10-11
Medida de um segmento
Medir um segmento é perguntar quantas vezes uma unidade cabe nele. A pergunta é simples; a resposta levou séculos para ficar completa.
Quem descobriu
Medir comprimentos é anterior à escrita, mas quem resolveu o problema teórico foi Eudoxo de Cnido (c. 408–355 a.C.). Os pitagóricos tinham descoberto que a diagonal e o lado de um quadrado são incomensuráveis: não existe unidade, por menor que seja, que caiba um número inteiro de vezes nos dois. Eudoxo criou uma teoria de proporções que funciona mesmo nesse caso, registrada no livro V dos Elementos.
A história
As unidades começaram com o corpo humano: palmo, pé, passo, braça. No Egito, o côvado real (cerca de 52 cm) tinha padrões em pedra usados nas grandes construções. Cada região tinha suas medidas, o que complicava o comércio por séculos.
Em 1791, durante a Revolução Francesa, foi proposto o metro, como a décima milionésima parte da distância do polo Norte ao equador. Desde 1983, ele é definido pela distância que a luz percorre no vácuo em 1/299 792 458 de segundo. O Brasil adotou o sistema métrico em 1862.
No dia a dia
- Trena e régua. Toda medição é uma comparação com a unidade gravada no instrumento.
- Polegadas das telas. Uma TV “de 50 polegadas” tem diagonal de cerca de 127 cm; a polegada mede 2,54 cm.
- Hodômetro. O painel do carro conta quantas voltas a roda deu e multiplica pelo comprimento de cada volta.
- Escalas de mapas. Numa escala 1 : 50 000, cada centímetro no papel representa 500 m no terreno.
Fontes: Eudoxo (MacTutor) · Elementos, livro V · BIPM: definição do metro.
Teoria e construções
A medida de um segmento $\overline{AB}$ é indicada por $m(\overline{AB})$ ou, simplesmente, por $AB$.
DefiniçãoMedida (comprimento)
A medida de um segmento não nulo é um número real positivo associado a ele de modo que:
- segmentos congruentes têm medidas iguais e, reciprocamente, segmentos com medidas iguais são congruentes: $\overline{AB} \equiv \overline{CD} \iff m(\overline{AB}) = m(\overline{CD})$;
- se um segmento é maior que outro, sua medida é maior: $\overline{AB} > \overline{CD} \iff m(\overline{AB}) > m(\overline{CD})$;
- ao segmento soma corresponde a soma das medidas: $\overline{RS} = \overline{AB} + \overline{CD} \iff m(\overline{RS}) = m(\overline{AB}) + m(\overline{CD})$.
A medida de um segmento chama-se comprimento do segmento.
Em geral, medimos um segmento comparando-o com outro segmento escolhido como unidade. A unidade usual é o metro (m), com seus múltiplos — decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km) — e submúltiplos — decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).