Radix quadrati: a matemática também tem uma escrita

Pergunte a um estudante o que é a raiz quadrada de 9 e ele provavelmente dirá “3”. Pergunte por que se chama raiz, e por que quadrada, e a conversa costuma acabar ali. O nome virou um rótulo vazio, e o símbolo $\sqrt{\phantom{9}}$ virou um gancho estranho que “tira” alguma coisa de dentro do número.

Mas o nome já contou a história inteira um dia. Os geômetras gregos chamavam o número procurado simplesmente de lado (pleurá): o lado de um quadrado de área 9 mede 3. Os algebristas árabes chamavam-no de jidhr, a raiz de onde o quadrado “cresce”, e os tradutores latinos da Idade Média escreveram radix. Uma frase como

dizia, sem mistério nenhum: o lado do quadrado de área 4 é igual a 2.

Do latim ao gancho

Ninguém decidiu, num belo dia, trocar a frase pelo símbolo. Quem copiava cálculos à mão abreviava o que repetia muitas vezes, e a abreviação ia encurtando de geração em geração. A sequência abaixo é esquemática, mas segue o caminho que a escrita percorreu entre os manuscritos medievais e os livros impressos do século XVI:

O símbolo ganhou em velocidade e perdeu em memória. Quem lê $\sqrt{4}$ hoje já não vê um quadrado. É por isso que, quando um estudante pergunta se $\sqrt{4}$ é $2$ ou $-2$, a resposta mais clara vem do nome antigo: um lado não tem comprimento negativo. A convenção moderna de que $\sqrt{a}$ é sempre o valor não negativo é a herança direta da geometria que o símbolo esqueceu.

A matemática é feita com sinais

Abra qualquer livro de matemática e você verá uma mistura de palavras, algarismos, letras, sinais, setas, diagramas e espaços em branco. Aprendemos a ler essa mistura quase como se fosse natural: vemos $3+4=7$, $x^2$, $\frac{a}{b}$ ou $\int_a^b f(x)\,dx$ e reconhecemos operações e relações sem esforço. Mas essa leitura foi aprendida, e cada um desses sinais tem data de nascimento.

Explore a linha do tempo abaixo. Ela mostra seis momentos em que a maneira de escrever mudou a maneira de pensar:

A semiótica é o estudo dos signos: como uma marca no papel passa a significar alguma coisa para alguém. Este livro usa as ferramentas da semiótica para olhar a matemática por um ângulo pouco comum. Em vez de perguntar apenas “o que diz esta fórmula?”, perguntamos também: o que esta escrita permite fazer?

Notação ativa e notação estéril

Comparar duas escritas do mesmo conteúdo é a melhor maneira de ver a diferença. Isaac Newton e Gottfried Leibniz inventaram o cálculo quase ao mesmo tempo, nos anos 1660 e 1670. Newton escrevia a taxa de variação de $y$ com um ponto em cima, $\dot{y}$. Leibniz escrevia $\dfrac{dy}{dx}$. Para o conteúdo, tanto faz. Para a mão de quem calcula, não. Veja a regra da cadeia nas duas escritas:

Na escrita de Leibniz, a regra quase se escreve sozinha: parece que o $dy$ “se cancela”, como numa multiplicação de frações. Na escrita de Newton, não há nada para olhar; é preciso lembrar da regra. A notação de Leibniz sugere o próximo passo. A de Newton apenas registra um resultado.

Ao longo deste livro, chamaremos de notação ativa uma escrita cuja forma carrega as relações do objeto e, por isso, ajuda a descobrir coisas novas sobre ele. Os antigos autores deste site usavam uma expressão latina para isso: mirabilis abbreviatio, a abreviação maravilhosa, que encurta o texto sem encurtar o pensamento. Chamaremos de notação estéril uma escrita que até registra corretamente o que já se sabe, mas não aponta para lugar nenhum. O sistema posicional com zero é ativo; os numerais romanos, para fazer contas, são estéreis. Os logaritmos de Napier, que transformam multiplicações em somas, são ativos. A raiz quadrada, quando perde a memória do quadrado, corre o risco de ficar estéril na cabeça de quem aprende.

Ao livrar o cérebro de todo trabalho desnecessário, uma boa notação o deixa livre para se concentrar em problemas mais avançados e, na prática, aumenta o poder mental da espécie.

— Alfred North Whitehead, An Introduction to Mathematics (1911)

Isso não quer dizer que os símbolos pensem por nós, nem que a verdade de um teorema dependa da aparência dos seus sinais. Quer dizer que a matemática, como atividade humana, é feita com sinais: formulamos problemas, fazemos contas e escrevemos provas com eles, e a forma desses sinais facilita alguns caminhos e esconde outros. Nos próximos textos, vamos acompanhar essa história: os números que aprenderam a calcular, a figura que acompanha a prova, a álgebra que trocou palavras por letras, os pequenos sinais de operação e a grande disputa entre os pontos de Newton e os $d$ de Leibniz.

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