Chamam-se quantidades variáveis aquelas que aumentam ou diminuem continuamente; e, ao contrário, quantidades constantes aquelas que permanecem as mesmas enquanto as outras mudam.

— Marquês de l'Hôpital, Análise dos infinitamente pequenos (1696), definição I

A incógnita é uma letra parada: ela esconde um valor, e o valor não muda. A variável é uma letra que se move. Em $y=x^2-4x+3$, ninguém pergunta “quanto vale $x$?”. Pergunta-se outra coisa: “quando $x$ muda, o que acontece com $y$?”.

Da equação à curva

A passagem de uma ideia à outra aconteceu no século XVII. Quando Descartes e Fermat, por volta de 1637, ligaram as equações às curvas, uma equação com duas letras, como $y=x^2$, deixou de ter uma resposta e passou a ter infinitas: todos os pares $(x,y)$ que formam a parábola. O $x$ deixou de ser procurado e passou a ser percorrido. Para cada posição, a equação diz onde está o $y$.

Quantidades que fluem

Newton deu a essa ideia uma imagem física. Para ele, uma variável era uma quantidade que flui com o tempo, como a posição de um corpo que se move, e a chamou de fluente; a velocidade com que ela flui era a fluxão. Leibniz falava de quantitas variabilis, e o primeiro livro de cálculo, o de l’Hôpital, de 1696, abre com a definição citada no alto desta página: variáveis aumentam ou diminuem, constantes ficam paradas.

A palavra carrega uma imagem de movimento. É por isso que dizemos “quando $x$ tende a $0$”, “$y$ cresce”, “a função sobe”, como se as letras andassem.

Uma letra depende da outra

Com duas variáveis, aparece a ideia de dependência. Em 1755, no prefácio das Instituições de cálculo diferencial, Euler escreveu que, quando umas quantidades dependem de outras de tal modo que, mudando estas, aquelas também mudam, as primeiras se chamam funções das segundas. Em $y=x^2-4x+3$:

  • $x$ é a variável independente: escolhemos o valor dela livremente;
  • $y$ é a variável dependente: o seu valor é imposto pela regra.

A escolha não está escrita nas letras. Em $A=\pi r^2$, costumamos pensar no raio como independente, mas, se a pergunta for “que raio dá uma área de $10$ m²?”, invertemos os papéis: $r=\sqrt{A/\pi}$.

A variável parada de Weierstrass

A imagem do movimento é útil, mas trouxe problemas. O que quer dizer “$h$ tende a zero” se $h$ é só uma letra num papel? No século XIX, Karl Weierstrass e outros eliminaram o tempo da definição. Uma variável passou a ser apenas uma letra que pode ser substituída por qualquer elemento de um conjunto, o seu domínio. Nada se move: o que existe é a coleção de todas as substituições possíveis. É a leitura que está por trás da definição de limite de Cauchy e Weierstrass, com os seus $\varepsilon$ e $\delta$.

Hoje convivem as duas imagens. O professor que diz “quando $x$ vai crescendo” usa a variável de Newton; a definição no livro usa a de Weierstrass. A notação é a mesma, e o leitor precisa saber passar de uma para a outra.

Exercício: descubra a regra pela tabela

Uma tabela registra: $x=0\to y=1$, $x=1\to y=3$, $x=2\to y=5$, $x=3\to y=7$. Quando $x$ aumenta $1$, $y$ aumenta $2$, e em $x=0$ o $y$ vale $1$. A regra é $y=2x+1$. Repare que uma tabela finita nunca prova a regra: outra regra poderia coincidir nesses quatro pontos e diferir em $x=4$. A tabela sugere; a fórmula afirma.

Exercício: quem depende de quem?

Um carro anda a $80$ km/h. A distância percorrida é $d=80t$. Se a pergunta é “quanto ele anda em $2{,}5$ h?”, $t$ é a variável independente e $d=200$ km. Se a pergunta é “quanto tempo leva para andar $300$ km?”, a independente passa a ser $d$, e $t=\frac{d}{80}=3{,}75$ h. A fórmula é uma só; a dependência é escolhida pela pergunta.

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