A história

Os nomes função par e função ímpar vêm das potências: $x^2$, $x^4$, $x^6$, … não mudam quando trocamos $x$ por $-x$, e $x$, $x^3$, $x^5$, … trocam de sinal. Os termos aparecem num trabalho do jovem Leonhard Euler sobre um problema de curvas proposto na época, as “trajetórias recíprocas”, escrito por volta de 1727. Euler percebeu também que o cosseno se comporta como as potências pares e o seno como as ímpares, o que fica claro nas séries que ele usou: $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$ só tem potências pares, e $\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$, só ímpares.

O cosseno (vermelho) e as primeiras somas da sua série, $1 - \frac{x^2}{2}$ e $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$: só potências pares, por isso todas são simétricas em relação ao eixo vertical, como o próprio cosseno.

Fontes: Euler (MacTutor) · Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: E (Jeff Miller).

No dia a dia

  • Fones com cancelamento de ruído. Eles captam o ruído e emitem a mesma onda com o sinal trocado: como o seno é ímpar, a onda “invertida” equivale a um deslocamento de meio período, e as duas se anulam.
  • Fotos compactadas. O formato JPEG usa só cossenos porque estende cada bloco da imagem de modo simétrico, como um espelho — e funções simétricas (pares) se escrevem só com cossenos.
  • Girar para os dois lados. Girar um volante $30^\circ$ para a direita ou para a esquerda produz o mesmo avanço “para a frente” ($\cos$ é par) e desvios laterais opostos ($\operatorname{sen}$ é ímpar).
Cancelamento de ruído: o fone emite a mesma onda com o sinal trocado.

Teoria

As reduções valem para todo x

Ao reduzir ao 1º quadrante, estabelecemos igualdades notáveis. Por exemplo, se $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, então $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - x)$ e $\cos x = -\cos(\pi - x)$. Vamos agora estender essas igualdades para todo $x$ real.

TeoremaIdentidades de redução

Para todo $x$ real valem:

  1. $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - x)$ e $\cos x = -\cos(\pi - x)$;
  2. $\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(x - \pi)$ e $\cos x = -\cos(x - \pi)$;
  3. $\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(2\pi - x)$ e $\cos x = \cos(2\pi - x)$;
  4. $\operatorname{sen} x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ e $\cos x = \operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.
Ver a demonstração

1) Para todo $x \in \mathbb{R}$ temos $x = x_0 + 2k\pi$, com $0 \le x_0 < 2\pi$ e $k \in \mathbb{Z}$. Assim, $\pi - x = (\pi - x_0) - 2k\pi$, o que mostra que $x$ e $\pi - x$ têm imagens no ciclo simétricas em relação ao eixo dos senos (seja qual for o quadrante de $x_0$). Em consequência:

$$\operatorname{sen}(\pi - x) = \operatorname{sen} x \qquad \cos(\pi - x) = -\cos x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$$

2), 3) e 4) provam-se analogamente: $x - \pi$ tem imagem simétrica à de $x$ em relação ao centro; $2\pi - x$, em relação ao eixo dos cossenos; e $\frac{\pi}{2} - x$, em relação à bissetriz do 1º quadrante. Por exemplo, $\frac{\pi}{2} - x = \left(\frac{\pi}{2} - x_0\right) - 2k\pi$, e os arcos $x_0$ e $\frac{\pi}{2} - x_0$ somam $\frac{\pi}{2}$, logo as suas imagens são simétricas na bissetriz $u = v$; essa simetria troca abscissa e ordenada, o que dá $\operatorname{sen} x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ e $\cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.

ExemploArcos do tipo π/2 + x e 3π/2 ± x

Combinando as identidades, obtemos fórmulas para outros arcos (exercício 119):

$$\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \operatorname{sen}\left[\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right] = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cos\left[\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right] = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\operatorname{sen} x$$

Funções pares e funções ímpares

DefiniçãoFunção par

Uma função $f\colon A \to B$ é par se, e somente se,

$$f(x) = f(-x), \quad \forall x \in A,$$

isto é, dando valores simétricos à variável, obtemos o mesmo valor para a função.

Exemplos: $f(x) = |x|$, pois $|-x| = |x|$; $f(x) = x^2$, pois $(-x)^2 = x^2$; $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, pois $\dfrac{1}{(-x)^2} = \dfrac{1}{x^2}$ para todo $x \in \mathbb{R}^*$.

Da definição decorre que o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo $y$, pois $(x, y) \in f \Rightarrow (-x, y) \in f$.

Funções pares: $|x|$, $x^2$ e $\frac{1}{x^2}$ — gráficos simétricos em relação ao eixo $y$.

DefiniçãoFunção ímpar

Uma função $f\colon A \to B$ é ímpar se, e somente se,

$$f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in A,$$

isto é, dando valores simétricos à variável, obtemos valores simétricos para a função.

Exemplos: $f(x) = 2x$, pois $2(-x) = -2x$; $f(x) = x^3$, pois $(-x)^3 = -x^3$; $f(x) = \dfrac{1}{x}$, pois $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$ para todo $x \in \mathbb{R}^*$.

Da definição decorre que o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano, pois $(x, y) \in f \Rightarrow (-x, -y) \in f$.

Funções ímpares: $2x$, $x^3$ e $\frac{1}{x}$ — gráficos simétricos em relação à origem.

Paridade do seno e do cosseno

Os números $x$ e $-x$ têm, no ciclo, imagens simétricas em relação ao eixo dos cossenos. Em consequência:

TeoremaParidade

$$\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen} x \qquad \cos(-x) = \cos x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$$

Portanto a função seno é ímpar e a função cosseno é par. Daí, $\operatorname{tg}(-x) = \dfrac{-\operatorname{sen} x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x$: a tangente também é ímpar (assim como a cotangente e a cossecante), e a secante é par.

Arraste $P$: o ponto $P'$, imagem de $-x$, é o simétrico de $P$ no eixo dos cossenos.

Os exercícios desta seção são os de números 119 a 125 da lista do capítulo.