Lagrange é a alta pirâmide das ciências matemáticas.

— Napoleão Bonaparte, segundo os contemporâneos

Lagrange não deixou anedotas de gênio precoce como Pascal, nem uma obra do tamanho da de Euler. Deixou outra coisa: um jeito de fazer matemática. Onde os outros desenhavam, ele calculava; onde os outros achavam um truque para cada problema, ele procurava a regra que explicava todos os truques. Quase tudo o que fez continua nos livros com o seu nome: a equação de Euler-Lagrange, a lagrangiana, os pontos de Lagrange, o teorema de Lagrange, o resto de Lagrange, os multiplicadores de Lagrange.

Sobre Newton

Lagrange admirava Newton acima de todos, mas com uma ponta de inveja que não escondia. Seu biógrafo Delambre registrou o que ele costumava dizer:

Newton foi o maior gênio que já existiu, e também o mais feliz, porque só uma vez se pode encontrar um sistema do mundo para estabelecer.

— Joseph-Louis Lagrange, segundo Delambre (1814)

O metro e a base 10

Na comissão que criou o sistema métrico, a partir de 1790, Lagrange defendeu a divisão decimal de todas as medidas, contra quem preferia a base 12, que tem mais divisores. Conta-se que, para mostrar que os muitos divisores do 12 não eram tão importantes, chegou a sugerir, meio de brincadeira, a base 11, que é um número primo. O metro, o litro e o grama, todos divididos por 10, são também um pouco obra dele.

O polinômio que passa pelos pontos

Nas aulas de 1795 na Escola Normal de Paris, Lagrange mostrou uma fórmula para achar o polinômio que passa por pontos dados. Para três pontos $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$, ele é

$$\begin{aligned}P(x)={}&y_0\,\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\&+y_1\,\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\&+y_2\,\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.\end{aligned}$$

A ideia é simples: cada fração vale $1$ no seu próprio ponto e $0$ nos outros dois, então $P(x_0)=y_0$, $P(x_1)=y_1$ e $P(x_2)=y_2$. O inglês Edward Waring já tinha publicado a mesma fórmula em 1779, e Euler a conhecia, mas ela ficou com o nome de interpolação de Lagrange. Hoje está nos métodos numéricos das calculadoras e dos computadores e até num método da criptografia para dividir um segredo entre várias pessoas.

O que ficou

  • Física. A Mecânica analítica transformou a mecânica num ramo da análise. A lagrangiana $L=T-V$ é a forma em que se escrevem até hoje a relatividade, a mecânica quântica e o Modelo Padrão.
  • Cálculo das variações. Com Euler, Lagrange criou a matemática de escolher a melhor curva, usada da óptica ao controle de foguetes.
  • Astronomia. Os pontos de Lagrange recebem telescópios espaciais e abrigam milhares de asteroides troianos.
  • Teoria dos números. O teorema dos quatro quadrados abriu caminho para o problema de Waring e para o estudo das formas quadráticas, continuado por Legendre e Gauss.
  • Álgebra. As reflexões sobre as permutações das raízes prepararam o trabalho de Ruffini, Abel e Galois e a teoria dos grupos.
  • Análise. A notação $f'(x)$, a palavra derivada, o teorema do valor médio e o resto de Lagrange estão em qualquer curso de cálculo.
Estátua de Lagrange em Turim, a cidade onde ele nasceu.
Estátua de Lagrange em Turim, a cidade onde ele nasceu.Twice25 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0

Um nome em muitos lugares

Lagrange está sepultado no Panteão de Paris, e o seu nome é um dos 72 gravados na Torre Eiffel. Turim tem uma praça, uma rua e uma estátua dele, e a Itália e a França disputam até hoje se ele foi um matemático italiano ou francês. Há uma cratera Lagrange na Lua, a mesma Lua cuja libração ele explicou aos 28 anos, e um asteroide chamado 1006 Lagrangea.

Para lembrar

  • Lagrange viveu de 1736 a 1813: Turim, Berlim e Paris. Foi professor aos 19 anos e sucedeu Euler em Berlim em 1766.
  • O cálculo das variações procura a curva que torna mínima uma integral. A resposta satisfaz a equação de Euler-Lagrange.
  • Na mecânica de Lagrange, tudo sai da função $L=T-V$, sem figuras e sem as forças de amarração.
  • Os cinco pontos de Lagrange são os lugares onde um corpo pequeno gira junto com dois grandes. L2 do sistema Sol–Terra fica a 1,5 milhão de km.
  • Todo inteiro positivo é soma de quatro quadrados.
  • O número de valores que uma expressão de $n$ letras toma, quando as letras são embaralhadas, divide $n!$.
  • $f'(x)$ é notação de Lagrange. O teorema do valor médio garante um ponto em que a tangente é paralela à secante.
  • Para otimizar com restrição, iguale as derivadas de $f$ a $\lambda$ vezes as de $g$. O $\lambda$ mede quanto vale afrouxar a restrição.
Exercício: ache o polinômio que passa por (0, 1), (1, 3) e (2, 7)

Pela fórmula de Lagrange,

$$\begin{aligned}P(x)={}&1\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{2}+3\cdot\frac{x(x-2)}{-1}\\&+7\cdot\frac{x(x-1)}{2}.\end{aligned}$$

Expandindo: $\frac{x^2-3x+2}{2}-3x^2+6x+\frac{7x^2-7x}{2}=x^2+x+1$. Confira: $P(0)=1$, $P(1)=3$ e $P(2)=7$.

Exercício: quantos valores toma x₁x₂x₃ quando quatro raízes são embaralhadas?

O produto de três das quatro raízes fica determinado pela raiz que fica de fora, então há $4$ valores: $x_1x_2x_3$, $x_1x_2x_4$, $x_1x_3x_4$ e $x_2x_3x_4$. Como manda o teorema de Lagrange, 4 divide 24, e as trocas que não mudam a expressão são $24\div4=6$: todas as que embaralham só $x_1, x_2, x_3$.

Fontes: biografia de Lagrange, MacTutor · Jean-Baptiste Delambre, Notice sur la vie et les ouvrages de M. le comte J.-L. Lagrange (1814) · Ken Alder, The Measure of All Things (2002).

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