O cálculo de Newton e Leibniz sabe achar o ponto mais alto de uma curva: é onde a derivada se anula. Mas há perguntas de outro tipo. Qual é o caminho mais curto entre dois pontos? Qual é a forma de um escorregador em que uma bolinha desce mais depressa? Qual é a curva de um fio pendurado? Nessas perguntas, a resposta não é um número, é uma curva inteira, escolhida entre infinitas curvas possíveis.

A braquistócrona

Em 1696, Johann Bernoulli lançou um desafio aos matemáticos da Europa. Dados dois pontos $A$ e $B$, com $B$ mais baixo e não exatamente embaixo de $A$, qual é a curva por onde uma bolinha, deslizando sem atrito e só pelo próprio peso, vai de $A$ a $B$ no menor tempo? O nome do problema vem do grego: brachistos, o mais curto, e chronos, tempo.

A reta é o caminho mais curto, mas não o mais rápido. Vale a pena começar descendo mais íngreme, para ganhar velocidade cedo, mesmo que o caminho fique mais comprido. Responderam ao desafio Johann, o irmão Jakob, Leibniz, l’Hôpital e um autor anônimo que todos reconheceram como Newton. A resposta é uma cicloide, a curva descrita por um ponto de uma roda que gira.

Cada solução foi um truque engenhoso e diferente. Johann, por exemplo, imaginou a bolinha como um raio de luz atravessando camadas de vidro cada vez menos densas e usou a lei da refração. Faltava um método geral.

O método de Euler

Euler passou anos procurando esse método e o publicou em 1744, num livro chamado Método para encontrar linhas curvas que gozam de uma propriedade de máximo ou de mínimo. A ideia era geométrica: trocar a curva por um polígono de muitos lados, mexer num único vértice e ver o efeito na quantidade a otimizar. Funcionava, mas as contas eram longas e cada problema exigia um desenho próprio.

A carta de 1755

Em 12 de agosto de 1755, Euler recebeu a carta de um desconhecido de 19 anos, de Turim. Lagrange propunha outra coisa: em vez de mexer num vértice, variar a curva inteira de uma vez. Se $y(x)$ é a curva procurada, ele considerava uma curva vizinha,

$$y(x)+\delta y(x),$$

em que $\delta y$ é uma pequena perturbação, nula nas pontas, porque as pontas $A$ e $B$ estão fixas. O $\delta$, um d grego, era o símbolo novo: indica uma variação da função, assim como o $d$ de Leibniz indica uma variação da variável.

Muitas dessas perguntas pedem para tornar mínima ou máxima uma integral

$$J=\int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$

onde $F$ depende do ponto, da altura da curva e da sua inclinação. O comprimento de uma curva, por exemplo, é

$$J=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx.$$

A equação

A conta de Lagrange cabe em três passos. Primeiro, a variação da integral é a soma das variações causadas em $y$ e em $y'$:

$$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}\,\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\,\delta y'\right)dx.$$

Segundo, como $\delta y'$ é a derivada de $\delta y$, uma integração por partes passa a derivada para o outro fator. O termo de fronteira desaparece, porque $\delta y$ é zero nas pontas:

$$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\delta y\,dx.$$

Terceiro, se a curva é a melhor, $\delta J$ tem de ser zero para qualquer perturbação $\delta y$. Isso só é possível se o parêntese for zero em todo ponto:

$$\boxed{\ \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0\ }$$

É a equação de Euler-Lagrange. Euler já a tinha encontrado pelo caminho dos polígonos; Lagrange chegou a ela sem desenho nenhum, por um cálculo que serve para qualquer $F$. O problema de achar uma curva entre todas virou o problema de resolver uma equação diferencial.

O caminho mais curto

Vamos testar. Para o comprimento, $F=\sqrt{1+y'^2}$ não depende de $y$, então $\frac{\partial F}{\partial y}=0$ e a equação diz que

$$\begin{aligned}&\frac{d}{dx}\left(\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\right)=0\\ &\Longrightarrow\quad \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=\text{constante}.\end{aligned}$$

Se essa fração é constante, $y'$ também é: a inclinação nunca muda, e a curva é uma reta. Todo mundo sabia, mas agora é um teorema que sai de uma conta. Com o mesmo método, a braquistócrona dá a cicloide, o fio pendurado dá a catenária, e a curva de comprimento fixo que cerca a maior área dá o círculo.

A sua solução analítica do problema dos isoperímetros contém, até onde vejo, tudo o que se pode desejar nesse campo, e fico extremamente feliz que essa teoria, com a qual me ocupei quase sozinho desde as primeiras tentativas, tenha sido levada por você à maior perfeição.

— Leonhard Euler, carta a Lagrange (2 de outubro de 1759)

Em 1756, Euler apresentou à Academia de Berlim uma exposição do método de Lagrange e deu nome ao novo ramo: calculus variationum, o cálculo das variações. Euler, que já era o matemático mais famoso da Europa, abriu mão de parte da glória para o jovem desconhecido. Lagrange nunca esqueceu.

Exercício: qual curva liga (0, 0) a (1, 2) tornando mínima a integral de y′² ?

Com $F=y'^2$, temos $\frac{\partial F}{\partial y}=0$ e $\frac{\partial F}{\partial y'}=2y'$. A equação dá $\frac{d}{dx}(2y')=0$, ou seja, $y''=0$: a curva é uma reta $y=cx+d$. As pontas dão $d=0$ e $c=2$, e a resposta é $y=2x$. O valor mínimo é $\int_0^1 2^2\,dx=4$.

Exercício: que curvas resultam de F = y′² − y² ?

Agora $\frac{\partial F}{\partial y}=-2y$ e $\frac{\partial F}{\partial y'}=2y'$. A equação fica $-2y-2y''=0$, isto é,

$$y''=-y.$$

As soluções são $y=A\cos x+B\sin x$. É a equação de uma mola. Não é coincidência: $y'^2$ faz o papel da energia de movimento e $y^2$, o da energia da mola. É o ponto de partida do próximo texto.

Fontes: biografia de Lagrange, MacTutor · Herman H. Goldstine, A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century (1980) · Craig Fraser, “J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics”, Archive for History of Exact Sciences (1983).

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