Quase todo estudante aprende a dizer “seno”, “cosseno”, “cateto” e “hipotenusa” sem saber o que essas palavras querem dizer. São rótulos para decorar, como nomes de ruas numa cidade estranha. Mas cada um deles já foi uma descrição, e alguns guardam histórias inesperadas. O seno, por exemplo, é o resultado de uma tradução que deu errado.

Pitágoras em latim

O teorema mais famoso da geometria era, durante muito tempo, uma frase sobre quadrados de verdade, desenhados sobre os lados de um triângulo. Os antigos textos deste site o escreviam à maneira medieval:

$$\textit{quadratum lateris } a \textit{ et quadratum lateris } b \textit{ aequalis quadratum lateris } c,$$

“o quadrado do lado $a$ e o quadrado do lado $b$ são iguais ao quadrado do lado $c$”. Com os lados $3$, $4$ e $5$, os quadrados têm áreas $9$, $16$ e $25$, e de fato $9+16=25$. Com $6$, $8$ e $10$: $36+64=100$. Hoje escrevemos

$$a^2+b^2=c^2,$$

e o expoente $^2$ ainda carrega, no próprio nome, a figura de onde veio: “ao quadrado”. O teorema não é só grego. Uma tábua babilônica de cerca de 1800 a.C., a Plimpton 322, lista ternas de números que satisfazem a relação, e o livro chinês Zhoubi suanjing demonstra o caso $3$, $4$, $5$ com uma figura chamada gougu, os nomes chineses dos dois lados menores.

Cateto e hipotenusa

Os nomes dos lados do triângulo retângulo vêm do grego e eram descrições de posição. Cateto vem de káthetos, “o que desce”, a mesma palavra usada para o fio de prumo dos pedreiros: o cateto é o lado que cai perpendicular ao outro. Hipotenusa vem de hypoteínousa, “a que se estica por baixo”: é o lado que se estende debaixo do ângulo reto, de uma ponta à outra, como a corda de um arco.

Os nomes eram ícones verbais: diziam onde cada lado estava. Ao virarem rótulos, perderam a imagem. Para quem sabe grego, “a hipotenusa é o maior lado” é quase óbvio; para quem só decorou a palavra, é mais uma regra.

O triângulo equilátero e os ângulos notáveis

Os valores de seno e cosseno que a escola manda decorar, como $\frac12$, $\frac{\sqrt3}{2}$ e $\frac{\sqrt2}{2}$, saem de duas figuras. Corte um triângulo equilátero de lado $a$ ao meio pela altura $h$: aparecem dois triângulos retângulos com ângulos de $30^\circ$, $60^\circ$ e $90^\circ$, hipotenusa $a$ e um cateto $\frac a2$. Por Pitágoras,

$$h^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2\quad\Longrightarrow\quad h^2=\frac{3a^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{a}{2}\sqrt3.$$

Com a hipotenusa igual a $1$, o cateto oposto a $30^\circ$ mede $\frac12$ e o oposto a $60^\circ$ mede $\frac{\sqrt3}2$. Corte um quadrado pela diagonal e aparecem os $45^\circ$, com catetos iguais a $\frac{\sqrt2}2$. A tabela que se decora é só a leitura de duas figuras.

O seno, um erro de leitura

A palavra mais estranha da trigonometria tem a história mais curiosa. Por volta do ano 500, o astrônomo indiano Aryabhata usava, em vez da corda inteira de um arco, a meia corda, que chamava de ardha-jya, e depois simplesmente de jya: em sânscrito, a corda do arco de caça. Os astrônomos árabes adotaram o conceito e transcreveram a palavra como jiba, que não significava nada em árabe. Como o árabe escrito costuma omitir as vogais, a palavra ficava apenas jb.

No século XII, os tradutores latinos, como Gerardo de Cremona, leram jb como jaib, uma palavra árabe de verdade, que quer dizer dobra, bolso, a dobra de uma roupa sobre o peito. E traduziram para o latim com a palavra equivalente: sinus, que significa dobra, seio, enseada. Desde então, a meia corda de um arco se chama seno, por causa de uma vogal que ninguém escreveu.

Graus, minutos e segundos

Os babilônios contavam em base $60$, e os astrônomos gregos herdaram essa escrita para os ângulos: a volta inteira em $360$ graus, cada grau em $60$ partes, cada parte em outras $60$. Ptolomeu chamava as primeiras de “primeiras partes pequenas” e as outras de “segundas partes pequenas”. Os tradutores latinos escreveram partes minutae primae e partes minutae secundae. A primeira expressão encolheu para minuto e a segunda para segundo. Quando você olha um relógio, está lendo, sem saber, uma notação babilônica traduzida do grego para o latim.

$$1^\circ=60'\qquad 1'=60''\qquad\text{logo}\qquad 1^\circ=3600''.$$

Os sinais $'$ e $''$ guardam essa contagem: uma marca para a primeira divisão, duas para a segunda.

Exercício: o seno de 60° no triângulo equilátero

Tome um triângulo equilátero de lado $2$. A altura divide a base em duas partes de $1$, e $h^2+1^2=2^2$, logo $h=\sqrt3$. No triângulo retângulo formado, a hipotenusa mede $2$, o cateto oposto ao ângulo de $60^\circ$ mede $\sqrt3$ e o oposto ao de $30^\circ$ mede $1$. Então $\operatorname{sen}60^\circ=\frac{\sqrt3}2$ e $\operatorname{sen}30^\circ=\frac12$. Repare que $\operatorname{sen}^2 60^\circ+\operatorname{sen}^2 30^\circ=\frac34+\frac14=1$: é Pitágoras de novo.

Exercício: graus em base 60

Escreva $12{,}35^\circ$ em graus, minutos e segundos. A parte inteira dá $12^\circ$. Sobram $0{,}35^\circ=0{,}35\cdot60'=21'$, exatos. Logo $12{,}35^\circ=12^\circ21'$. E $0{,}1^\circ$? São $6'$, ou seja, $360''$. A escrita sexagesimal sobrevive porque $60$ tem muitos divisores: $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$ e $30$.

Fontes: Plimpton 322, MacTutor · Eli Maor, Trigonometric Delights (1998) · Florian Cajori, A History of Mathematical Notations.

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