Euler's Eyes
2026-10-11
Circuncentro — mediatrizes
As três mediatrizes de um triângulo se encontram no circuncentro, o centro do círculo que passa pelos três vértices.
Quem descobriu
A construção é a proposição IV.5 dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): “circunscrever um círculo a um triângulo dado”. O ponto de encontro das mediatrizes está à mesma distância dos três vértices, e por isso serve de centro. Euclides observa ainda onde o centro fica: dentro do triângulo se ele for acutângulo, sobre o maior lado se for retângulo e fora se for obtusângulo.
A história
O mesmo problema aparece com outra roupagem: por três pontos que não estão alinhados passa exatamente um círculo. Essa é a base de muitas técnicas de localização e reconstrução.
Arqueólogos usam o circuncentro para reconstruir peças de cerâmica quebradas. Com um único caco da borda de um prato, marcam três pontos, traçam duas mediatrizes e encontram o centro e o raio do prato original — e assim sabem seu tamanho.
No dia a dia
- Reconstruir um prato ou uma roda. Três pontos da borda bastam para achar o centro e o diâmetro.
- Lugar equidistante. Um hospital, uma antena ou um ponto de encontro à mesma distância de três cidades fica no circuncentro.
- Desenhar um arco por três pontos. Programas de desenho e de CAD usam essa construção na ferramenta “arco por três pontos”.
- Triângulo retângulo. Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa: o canto de um esquadro sempre “enxerga” a hipotenusa como diâmetro.
Fontes: Elementos, proposição IV.5 · Euclides (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaConcorrência das mediatrizes
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto, que está a igual distância dos vértices:
$$m_1 \cap m_2 \cap m_3 = \lbrace O \rbrace, \qquad OA = OB = OC.$$Demonstração. Seja $O$ o encontro de $m_2$ e $m_3$ (mediatrizes de $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$). Como $O \in m_2$, $OA = OC$; como $O \in m_3$, $OA = OB$. Então $OB = OC$, e $O$ está na mediatriz $m_1$ de $\overline{BC}$.
DefiniçãoCircuncentro
O ponto de encontro das mediatrizes dos lados é o circuncentro. Ele é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo (que passa pelos três vértices).