Com a ideia de grupo de uma equação, Galois respondeu à pergunta que tinha ficado aberta depois de Abel: quais equações se resolvem por radicais? A resposta não depende de nenhum truque. Depende só da forma do grupo.

Cada raiz corta o grupo

Resolver uma equação por radicais é ir acrescentando raízes, uma de cada vez, aos números que já se conhecem. No começo, conhecemos só os números racionais, e o grupo da equação é inteiro. Cada vez que acrescentamos uma raiz, como $\sqrt3$ ou $\sqrt[3]{5}$, aparecem novas relações verdadeiras, e menos permutações as respeitam. O grupo encolhe. Quando o grupo vira só a identidade, todas as raízes da equação estão escritas com os números conhecidos: a equação está resolvida.

Galois mostrou que cada raiz de índice primo $p$, uma raiz quadrada, cúbica, quinta, encolhe o grupo de um jeito muito particular: o grupo novo é um subgrupo normal do anterior, e cabe dentro dele exatamente $p$ vezes. A conclusão é o teorema de Galois:

$$\boxed{\text{A equação se resolve por radicais}\iff\text{o grupo pode ser cortado em etapas normais de índice primo até chegar à identidade.}}$$

Um grupo que pode ser cortado assim se chama, em homenagem a essa história, solúvel.

O grau 3: a fórmula de Cardano

O grupo da equação geral de grau 3 é o das seis permutações de três raízes, que é o mesmo das seis simetrias do triângulo. Ele pode ser cortado assim:

$$\underbrace{\{e,r,r^2,s_1,s_2,s_3\}}_{6}\ \supset\ \underbrace{\{e,r,r^2\}}_{3}\ \supset\ \underbrace{\{e\}}_{1}.$$

Os índices são $6\div3=2$ e $3\div1=3$. Isso quer dizer: primeiro uma raiz quadrada, depois uma raiz cúbica. É exatamente a forma da fórmula de Cardano, em que uma raiz quadrada aparece dentro de uma raiz cúbica:

$$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$

O grupo explica a fórmula antes de ela ser escrita.

O grau 4: a fórmula de Ferrari

As 24 permutações de quatro raízes podem ser cortadas em quatro etapas:

$$24\ \supset\ 12\ \supset\ 4\ \supset\ 2\ \supset\ 1,$$

com índices $2, 3, 2, 2$, todos primos. A fórmula de Ferrari usa, nessa ordem, uma raiz quadrada, uma cúbica (para resolver a equação auxiliar de grau 3 de Lagrange) e mais duas raízes quadradas.

O grau 5: o grupo que não se corta

As $120$ permutações de cinco raízes podem ser cortadas uma vez, ao meio, num subgrupo normal de $60$ elementos, as chamadas permutações pares. Mas aí a cadeia para: esse grupo de 60 elementos não tem nenhum subgrupo normal além de $\{e\}$ e dele mesmo. Para chegar à identidade, seria preciso dar um passo de índice 60, que não é primo. É impossível.

Por isso a equação geral do quinto grau não tem fórmula: é o teorema de Abel, visto agora pelos olhos de Galois. Mas a teoria de Galois vai além. Para cada equação particular, basta calcular o grupo. A equação $x^5-2=0$ tem um grupo de 20 elementos, que é solúvel, e de fato se resolve: $x=\sqrt[5]2$. Já $x^5-x-1=0$ tem o grupo das 120 permutações, e a sua raiz real, $1{,}1673\ldots$, não pode ser escrita com radicais.

Exercício: por que a cadeia do triângulo não pode começar pelo subgrupo {e, s₁}?

Porque ele não é normal. Tome $g=r$ e $h=s_1$ e calcule “desfazer $g$, fazer $h$, refazer $g$”, isto é, $r^2\star s_1\star r$. Pela tabuada, $r^2\star s_1=s_3$, e $s_3\star r=s_2$. O resultado, $s_2$, não está em $\{e,s_1\}$. Já para as rotações a conta sempre dá rotação, e por isso a cadeia passa por $\{e,r,r^2\}$.

Exercício: o grupo de x⁵ − 2 = 0 tem 20 elementos e pode ser cortado como 20 ⊃ 10 ⊃ 5 ⊃ 1. Que raízes a fórmula usa?

Os índices são $20\div10=2$, $10\div5=2$ e $5\div1=5$: duas raízes quadradas e uma raiz quinta. As duas raízes quadradas servem para escrever $\omega=\cos72°+i\operatorname{sen}72°$, porque $\cos72°=\frac{\sqrt5-1}4$. A raiz quinta é $\sqrt[5]2$. As cinco raízes da equação são $\sqrt[5]2,\ \sqrt[5]2\,\omega,\ \sqrt[5]2\,\omega^2,\ \sqrt[5]2\,\omega^3$ e $\sqrt[5]2\,\omega^4$.

Fontes: Évariste Galois, “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux” (1831), em Journal de mathématiques pures et appliquées 11 (1846) · Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder (1884) · Ian Stewart, Galois Theory (CRC Press, 4ª ed., 2015).

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