Neste post vamos resolver as questões da OBMEP 2019 com comentários.

Questão 1

Marcelo lança cinco argolas em um pino de madeira, uma de cada vez. Quando a argola acerta o pino, ele ganha pontos, conforme a tabela abaixo. Quando a argola não acerta o pino, ele não ganha pontos. A figura mostra cinco lançamentos feitos por Marcelo, em que somente as argolas azul e verde acertaram o pino. Observe que a argola verde foi a última lançada, pois ficou sobre as outras

Número do lançamento Número de pontos
1º 10
2º 5
3º 3
4º 1
5º 1
Desafio

Q1 Item a

a) Quantos pontos Marcelo fez com os cinco lançamentos mostrados na fi gura acima?

  • 1º lançamento: fora $\rightarrow$ 0 ponto.
  • 2º lançamento: acertou $\rightarrow$ 5 pontos
  • 3º lançamento: fora $\rightarrow$ 0 ponto.
  • 4º lançamento: fora $\rightarrow$ 0 ponto.
  • 5º lançamento: acertou $\rightarrow$ 1 pontos.
$$ \text{Total} = 5+1=6 \text{pontos}$$

Q1 Item b

b) Em outros cinco lançamentos, Marcelo só errou um deles e fez 17 pontos. Qual foi o número do lançamento que ele errou?

Número do lançamento Número de pontos
1º $10$
2º $5$
3º $\cancel{3}$
4º $1$
5º $1$

Errou o terceiro lançamento, pois $10+5+1+1=17$ pontos.

Q1 Item c

c) A figura abaixo mostra como fi caram outros cinco lançamentos feitos por Marcelo. Se a terceira argola lançada foi a vermelha, qual é a maior pontuação que ele pode ter obtido nesses lançamentos?

  • 3º lançamento vermelho: fora $\rightarrow$ -3 pontos.
  • 2º lançamento preto: antes da vermelha fora $\rightarrow$ -5 pontos.
  • Pontução máxima: 1º lançamento acerto $\rightarrow$ +10 pontos.
  • Sobra mínima: 5º lançamento fora $\rightarrow$ -1 pontos.
  • Acerto sobra: 4º lançamento acerto $\rightarrow$ +1 pontos.
$$ \text{Total} = 10+1=11 \text{pontos}$$

Questão 2

Roberta tem duas cartelas, uma com os números de 1 a 15 e outra com os números de 16 a 30. Ela escolhe um número de cada cartela e calcula a soma deles.

Q2 Item A

a) Quais são as escolhas possíveis para Roberta obter a soma 18?

As escolhas para soma 18 são:

  • $1+17=18$
  • $2+16=18$

Q2 Item B

b) Se Roberta fizer todas as escolhas possíveis, quantos resultados diferentes ela poderá obter?

Tipo Soma Resultado
Maior Soma $1+16$ $17$
Menor Soma $15+30$ $45$

Desta forma, o conjuntos das escolhas possíveis são os números naturais entre 17 e 45.

$$\text{escolhas} = \\{17, 18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45\\}$$

Para não errarmos na conta veja:

  • Se for resultados 17 a 18: $$\text{resultado}=(18-17) + 1 = 2\text{ possibilidades}$$
  • Se for resultados 17 a 20: $$\text{resultado}=(20-17) + 1 = 4\text{ possibilidades}$$

O número de possibilidades é:

$$\text{possibilidades} = \text{diferença}+1 = (45-17) +1 = 29$$

Portanto, o número de possibilidades é $29.$

Q2 Item C

c) Se Roberta fizer todas as escolhas possíveis, qual é o resultado que aparecerá mais vezes? Por quê?

O número que aparece mais vezes é a média das somas.

$$\text{média} =\dfrac{\text{soma} }{\text{número de termos} }$$

Lembra de Gauss? Ele aos 5 anos de idade achou a soma dos termos de uma progressão aritimética. Como? Uma professora fez os alunos somarem de 1 a 100. Gauss calculou em 1 min.

Colocar os números em ordem crescente e decrescente.

$$ \begin{cases} \begin{array}{llll} \text{soma}\\ 1 & 2 & \dots & 100\\ 100 & 99 & \dots & 1\\ --&--&--&--\\ 101 & 101 & 101 & 101\\ \end{array} \end{cases} $$
Só que foi o 101 aparece 100 vezes e foi somado duas vezes. $$\text{soma} = \dfrac{101~.~100}{2}=5050$$

Agora, vamos voltar no item.

$$\text{soma} = \dfrac{(17+45)~.~29}{2}=\dfrac{62 ~.~29}{2} = 31~.~29$$

Cálculo da média:

$$\text{média} =\dfrac{\text{soma} }{\text{número de termos} } = \dfrac{31~.~\cancel{29} }{\cancel{29} }=31$$

Esse fato é devido a lei dos grandes números, mas vamos ver visualmente.

linha/coluna $1$ $2$ $3$ $\dots$ $15$
$16$ $1+16$ $2+16$ $3+16$ $\dots$ $\color{red}{15+16}$
$17$ $1+17$ $2+17$ $3+17$ $\dots$ $15+17$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\dots$ $\vdots$
$28$ $1+28$ $2+28$ $\color{red}{3+28}$ $\dots$ $15+28$
$29$ $1+29$ $\color{red}{2+29}$ $3+17$ $\dots$ $15+29$
$30$ $\color{red}{1+30}$ $2+17$ $3+17$ $\dots$ $15+30$

Questão 3

Paulinho tem peças com cinco formas diferentes (cubos, pirâmides, esferas, cilindros e cones). Peças com a mesma forma têm o mesmo peso (massa). Ele coloca algumas peças numa balança de pratos e observa o equilíbrio nas duas situações abaixo.

Q3 Item A

a) Indique se as figuras abaixo representam situações certas ou erradas.

  • Certo
  • Errado

Está certo, pois precisam o cone tem mais massa que dois objetos (pirâmide + cilindro)

  • Certo
  • Errado

Está certo, pois precisam a esfera tem mais massa que dois objetos (cubo + cilindro)

Q3 Item B

b) Qual das figuras abaixo representa a situação correta?

Apenas a C está correta, pois:

  • Um cone é igual a (pirâmide + cone)
  • Lado direito: (pirâmide + cilindro + cubo)
  • Um esfera é igual (cubo + cilindro)
  • Lado esquerdo: (pirâmide + cilindro + cubo)

Q3 Item C

c) Com alguns pesos conhecidos, Paulinho observou a situação de equilíbrio abaixo. Quanto pesam, juntos, um cubo, uma pirâmide, uma esfera, um cilindro e um cone?

Da hipotése temos:

$$\text{2 pirâmides + 2 esferas + 1 cone } = 5+10+15 = 30 \text{ gramas} $$

Bastra trocar:

  • 1 esfera por 1 cubo + 1 cilindro
  • 1 cilindro + 1 pirâmide por 1 cone
  • Resultado 1 esfera + 1 pirâmide + 1 cone + 1 cubo + 1 cilindro é igual a 30 gramas.

Questão 4

Na figura, o quadrado tem lado 1 cm. Os quatro triângulos azuis são iguais, assim como os dois triângulos amarelos menores. Os quatro triângulos amarelos maiores têm, cada um deles, base igual ao lado do quadrado, altura com relação a essa base igual a 1 cm, e seus outros dois lados com mesma medida. Dois lados do quadrilátero rosa são paralelos aos lados do quadradoNa figura, o quadrado tem lado 1 cm. Os quatro triângulos azuis são iguais, assim como os dois triângulos amarelos menores. Os quatro triângulos amarelos maiores têm, cada um deles, base igual ao lado do quadrado, altura com relação a essa base igual a 1 cm, e seus outros dois lados com mesma medida. Dois lados do quadrilátero rosa são paralelos aos lados do quadrado

Q4 Item A

a) Qual é a área da região formada pelos triângulos azuis?

Da figura obtemos:

  • 16 triângulos Total
  • Área do quadrado 1 cm²
  • 8 triângulos azuis
  • Área metade da área do quadrado, que é 0.5 cm²
$$\text{Área dos triângulos azuis } = \dfrac{1 cm^2}{2} = 0.5 cm^2$$

Q4 Item B

b) Qual é a área da região formada pelos triângulos amarelos?

As partes amarelas correspondem a:

  • 4 triângulos amarelos grandes colados ao quadrado central.
  • 4 triângulos amarelos pequenos dentro ao quadrado central.

Área do triângulo grande:

$$A_{\text{triângulo grande} } = \dfrac{1~.~1}{2}= \dfrac{1}{2}cm^2$$

4 triângulos grandes:

$$4~.~A_{\text{triângulo grande} } = \dfrac{4}{2}= 2cm^2$$

Área do quadrado 1 cm² igual a 16 triangulos pequenos:

$$A_{\text{triângulo pequeno} } = \dfrac{1 \text{ quadrado} }{16 \text{ triângulos pequenos} } ~.~ 4 \text{ triângulos pequenos}= \dfrac{1}{4}cm^2$$

Portanto, a área total:

$$A_{\text{total} } = 2+\dfrac{1}{4}= \dfrac{2 ~.~ \color{red}{4} }{\color{red}{4} } + \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4} = 2.25 cm^2$$

Q4 Item C

c) Qual é a área do quadrilátero rosa?

  • Do item b temos que área do triângulo grande é 0.5 cm²
  • Do enunciado a área do quadrado é 1 cm²
  • Portanto, total $A_{\text{total}} = 1 + 0.5 = 1.5 cm^2$

Questão 5

A Figura 1 é uma planifi cação de um cubo. Fazendo as dobras necessárias e colando as arestas soltas, obtemos o cubo da Figura 2.

Q5 Item A

a) Em uma outra vista do mesmo cubo, mostrada abaixo, está faltando o desenho na face da frente. Faça esse desenho.

Q5 Item B

b) Abaixo temos outras duas vistas do mesmo cubo, cada uma com a face da frente sem desenho. Faça os desenhos que faltam nessas faces.

Resposta:

Q5 Item C

c) Abaixo temos uma outra planificação do mesmo cubo. Faça, nessa planificação, os desenhos que estão faltando.

Resposta:

Questão 6

Os números da tabela abaixo serão colocados nos círculos coloridos de modo que nenhum deles apareça mais de uma vez e a soma dos números em três círculos consecutivos seja sempre um múltiplo de 3.

Q6 Item A

a) Complete o preenchimento abaixo.

Resposta:

De fato:

  • $1+5+3=9 \qquad \Rightarrow \qquad \div 3$ ok.
  • $5+3+4=12 \qquad \Rightarrow \qquad \div 3$ ok.
  • $3+4+2=9 \qquad \Rightarrow \qquad \div 3$ ok.
  • $4+2+6=12 \qquad \Rightarrow \qquad \div 3$ ok.
  • $2+6+7=15 \qquad \Rightarrow \qquad \div 3$ ok.
  • $6+7+8=21 \qquad \Rightarrow \qquad \div 3$ ok.
  • $7+8+9=24 \qquad \Rightarrow \qquad \div 3$ ok.
  • $8+9+1=18 \qquad \Rightarrow \qquad \div 3$ ok.
  • $9+1+5=15 \qquad \Rightarrow \qquad \div 3$ ok.

Q6 Item B

b) Explique por que, em qualquer preenchimento, três círculos consecutivos sempre serão preenchidos com números de colunas diferentes da tabela.

Resposta:

Note pela figura que qualquer combinação que não seja de colunas diferentes (coluna 1, coluna, coluna 3) não é múltiplo de 3. Além disso, chegará um momento que irá ferir uma das suposições, que é vizinhos de mesma coluna.

Q6 Item C

c) Quantos preenchimentos diferentes são possíveis?

Resposta: