Euler's Eyes
2026-10-11
Retas paralelas
Retas paralelas nunca se encontram — e ainda assim, num desenho em perspectiva, parecem se encontrar no horizonte.
Quem descobriu
A definição clássica é de Euclides (c. 300 a.C.), na definição I.23 dos Elementos: retas paralelas são as que estão no mesmo plano e, prolongadas indefinidamente nos dois sentidos, não se encontram. As relações entre os ângulos formados por uma transversal — alternos, correspondentes, colaterais — são as proposições I.27 a I.29. O filósofo Posidônio (século I a.C.) propôs outra definição, como retas sempre à mesma distância; Proclo registrou o debate.
A história
Por que não definir paralelas como retas “equidistantes”, que parece mais natural? Porque provar que duas retas que não se encontram estão sempre à mesma distância exige o quinto postulado — e os gregos já desconfiavam que ele era delicado. Euclides escolheu a definição que dependia de menos hipóteses e provou primeiro tudo o que podia sem o postulado: as proposições I.27 e I.28 não o usam, a I.29 sim.
No Renascimento, Filippo Brunelleschi (c. 1415) e Leon Battista Alberti (1435) mostraram que, num quadro em perspectiva, retas paralelas devem ser desenhadas convergindo para um ponto de fuga. Daí nasceu a geometria projetiva, em que “paralelas se encontram no infinito”.
No dia a dia
- Trilhos de trem. Precisam ser paralelos: se a distância entre eles mudar, o trem descarrila.
- Faixas de rodovia e vagas de estacionamento. São pintadas paralelas para organizar o tráfego.
- Persianas e pautas de caderno. Linhas paralelas igualmente espaçadas.
- Fotografia. Numa foto de uma rua reta, as calçadas paralelas parecem se encontrar no horizonte — o ponto de fuga do Renascimento.
Fontes: Elementos, definição I.23 · Elementos, proposição I.29 · Proclo (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoRetas paralelas
Duas retas são paralelas (símbolo $\parallel$) se, e somente se, são coincidentes ou são coplanares e não têm nenhum ponto comum:
$$a = b \ \Rightarrow\ a \parallel b \qquad\qquad (a \subset \alpha,\ b \subset \alpha,\ a \cap b = \varnothing) \ \Rightarrow\ a \parallel b$$
Ângulos formados por duas retas e uma transversal
Sejam $a$ e $b$ duas retas distintas, paralelas ou não, e $t$ uma reta concorrente com ambas: $t$ é uma transversal de $a$ e $b$. Os oito ângulos determinados por elas recebem nomes aos pares:
| Pares | Nome | Detalhando |
|---|---|---|
| 1 e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6 | alternos | internos: 3 e 5, 4 e 6 · externos: 1 e 7, 2 e 8 |
| 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8 | correspondentes | mesma posição em cada cruzamento |
| 1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5 | colaterais | internos: 3 e 6, 4 e 5 · externos: 1 e 8, 2 e 7 |
PropriedadeUma congruência puxa todas as outras
A congruência de dois ângulos alternos de um dos pares (por exemplo, $\hat{1} \equiv \hat{7}$) equivale:
- à congruência de todos os pares de alternos ($\hat{2} \equiv \hat{8}$, $\hat{3} \equiv \hat{5}$, $\hat{4} \equiv \hat{6}$);
- à congruência de todos os pares de correspondentes;
- à suplementaridade de todos os pares de colaterais ($\hat{1} + \hat{8} = \hat{2} + \hat{7} = \hat{3} + \hat{6} = \hat{4} + \hat{5} = 180^{\circ}$).