O primeiro modelo para os números reais foram propostos pelos gregos, desde Pitágoras até Euclides. O início de tudo veio com os números irracionais, como o $\sqrt{2}$ e o $\pi$.

Evolução dos conceitos dos números

Neste livro para crianças iniciamos a construção de toda sequência até a introdução aos números reais. Iniciamos com conceitos de contar e medir com os números naturais, que é o ponto de partida para o construção da reta numérica.

Os gregos expressavam o estudo dos números através de formas geométrica, com a geometria plana. Suas aplicações eram vistas nas construções da grécia vistas até hoje.

A geometria como conceito algébrico começou a ser desenvolvida por René Descartes, que anos mais tarde foi aprofundada por Sir Isaac Newton e Gottfried Wihelm Leibniz com o cálculo diferencial.

A construção dos números reais

Para chegarmos aos números reais, ao longos dos posts, fizemos a sequências dos conjuntos numéricos como na figura a seguir:

Números naturais

O primeiro conjunto numérico que trabalhamos foi o conjunto dos números naturais. Ela foi uma das mais usadas na antiguidade, devido a necessidade contagem. O conjunto dos números naturais é dada por:

$$\mathbb{N} = \\{ 1 , 2 ,3, 4, 5, 6, 7 ,\dots\\}$$

Números inteiros

Como dito nos posts de números inteiros, a necessidade de números negativos foram a principal motivação para construção deste conjunto. A ampliação do conjunto foi composto pelos números naturais e os números opostos a ele. Para $n\in \mathbb{N}$ temos:

$$\mathbb{Z} = \\{-n\\}\cup \\{0\\}\cup \\{n\\} = \\{\dots, -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots\\}$$

Números racionais

O próximo conjunto de números que surgiram foram os números racionais, com as famosas frações. Conjuntos estes bastante usados até hoje, com as proporções, razões, taxas, porcentagens, dentre outros.

$$\mathbb{Q} = \left\\{ \dfrac{p}{q}, \quad \text{com p e q inteiros e q diferente de zero} \right\\}$$

Números irracionais

Os gregos foram os primeiros a descobrirem números que não tinham as propriedades anteriores. Primeiro com a constante de Pitágoras $\sqrt{2}$ e em seguida a de Arquimedes $\pi$. Depois Leonhard Euler enunciou o número $e$ em homenagem a Napier o Barão de Marchiston, porém com a inicial de Euler.

$$\mathbb{I} = \\{\dots, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e,\dots\\}$$

Números reais

Boa parte das aplicações são utilizadas com os números reais, como medições em geral, como massa, temperatura, comprimento, dentre outros. Ela foi construída com os buracos contidos no conjuntos dos números racionais. Com isso, pode escrita como:

$$\mathbb{R} = \mathbb{Q}\cup \mathbb{I}$$

Todas as operações usuais valem para os números reais. No próximo post vamos falar das propriedades fundamentais.