Euler's Eyes
2026-10-27
A mecânica de Hamilton
Em 1788 Lagrange tinha transformado a mecânica de Newton num conjunto de equações que valiam em quaisquer coordenadas. Hamilton admirava esse livro, que chamou de “uma espécie de poema científico”. Em 1834 e 1835, nos dois ensaios Sobre um método geral em dinâmica, levou a ideia adiante, trazendo para a mecânica o que tinha aprendido com os raios de luz.
Posição e momento
Lagrange descrevia um sistema pelas posições $q$ e pelas velocidades $\dot q$. Hamilton trocou a velocidade pelo momento $p$ (para uma partícula simples, massa vezes velocidade, $p = m\dot q$) e pôs no centro de tudo uma única função, a hamiltoniana $H(q, p)$, que na maioria dos casos é a energia total: cinética mais potencial,
$$H = T + V.$$O movimento inteiro sai de duas equações, de uma simetria quase perfeita:
$$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}.$$Uma mola
Para uma massa $m$ presa a uma mola de constante $k$,
$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k q^2}{2}.$$As equações de Hamilton dão
$$\frac{dq}{dt} = \frac{p}{m}, \qquad \frac{dp}{dt} = -kq.$$A primeira diz que o momento é massa vezes velocidade; a segunda é a lei de Hooke, a força da mola. Juntas, dão $m\ddot q = -kq$: a oscilação de sempre. E como $\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{dq}{dt} + \frac{\partial H}{\partial p}\frac{dp}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q} = 0$, a energia se conserva automaticamente.
O ponto da curva não é a posição da massa
No espaço físico, a massa da mola se move numa reta. No espaço de fase, o ponto registra duas informações: posição e momento. Quando passa pela origem física, $q=0$, a massa pode ter momento positivo ou negativo: são dois estados diferentes. Nos extremos da oscilação, $p=0$, mas a força $-kq$ continua atuando e inverte o movimento.
Se $m=k=1$, a solução $q(t)=A\cos t$, $p(t)=-A\operatorname{sen}t$ satisfaz as duas equações e mantém $q^2+p^2=A^2$. As curvas são círculos quando as escalas gráficas dos eixos são iguais. Para massas e constantes gerais, são elipses em coordenadas $(q,p)$.
Trabalho e energia na linguagem vetorial
A ilustração do material antigo de vetores mostra uma força inclinada atuando sobre um corpo que se desloca na horizontal. Para uma força constante $F$ e um deslocamento $s$, o trabalho é $W=F\cdot s=\lVert F\rVert\lVert s\rVert\cos\theta$. A componente perpendicular ao deslocamento não contribui para esse trabalho.
Na mola conservativa, a força é $F(q)=-kq=-dV/dq$, com $V(q)=kq^2/2$. O trabalho da mola entre duas posições é $W=-\Delta V$; esse ganho ou perda de energia cinética mantém $H=T+V$ constante. É a mesma conservação que as equações de Hamilton expressam.
O espaço de fase
A grande vantagem da forma de Hamilton é geométrica. O estado do sistema num instante é um ponto $(q, p)$, e as equações dizem para onde esse ponto anda. Como $H$ não muda, o ponto corre sempre sobre a mesma curva de nível $H(q, p) = \text{constante}$. Para entender todos os movimentos possíveis, basta desenhar as curvas de nível de uma função de duas variáveis.
No pêndulo, com unidades escolhidas para simplificar, $q$ é o ângulo e $H = \frac{p^2}{2} - \cos q$. Mude a energia e solte o pêndulo:
Com pouca energia as curvas são ovais fechadas: o pêndulo vai e volta. Com muita energia, abertas: o pêndulo dá voltas completas. Entre as duas há uma curva especial, a separatriz, em que o pêndulo leva um tempo infinito para chegar ao ponto mais alto.
Exercício: a queda livre
Uma pedra de massa $m$ a uma altura $q$ tem $H = \frac{p^2}{2m} + mgq$. Escreva as equações de Hamilton e resolva-as para uma pedra largada do repouso.
$\frac{dq}{dt} = \frac{p}{m}$ e $\frac{dp}{dt} = -mg$. A segunda dá $p = -mgt$; a primeira, $\frac{dq}{dt} = -gt$, ou seja, $q = q_0 - \frac{g t^2}{2}$. É a queda de Galileu.
Exercício: a amplitude do pêndulo
Com $H = \frac{p^2}{2} - \cos q$, qual a maior inclinação $a$ do pêndulo quando $H = 0$? E quando $H = -\frac12$?
No ponto mais alto da oscilação o pêndulo para, $p = 0$, e então $-\cos a = H$. Para $H = 0$, $\cos a = 0$ e $a = 90°$. Para $H = -\frac12$, $\cos a = \frac12$ e $a = 60°$. Confira na figura interativa.
Fontes: William Rowan Hamilton, “On a General Method in Dynamics”, Philosophical Transactions (1834) e “Second Essay on a General Method in Dynamics” (1835) · Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton (1980) · Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (1949).
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