Eu estava sentado numa cadeira no escritório de patentes de Berna quando, de repente, me ocorreu um pensamento: se uma pessoa cai livremente, ela não sente o próprio peso. Fiquei espantado. Esse pensamento simples me causou uma impressão profunda. Ele me impeliu para uma teoria da gravitação.

— Albert Einstein, sobre uma ideia de 1907

A relatividade de 1905 tinha um defeito: não incluía a gravidade. A lei de Newton diz que o Sol atrai a Terra instantaneamente, através de 150 milhões de quilômetros, e a relatividade diz que nada viaja mais rápido que a luz. Einstein passou oito anos tentando consertar isso. O ponto de partida foi o que ele chamou de “o pensamento mais feliz da minha vida”.

O elevador que cai

Imagine-se num elevador cujo cabo se rompe. Você e tudo o que está no elevador caem juntos, com a mesma aceleração. Se você soltar uma maçã, ela fica flutuando na sua frente. Dentro do elevador, é como se não houvesse gravidade. Os astronautas na Estação Espacial vivem isso o tempo todo: eles não flutuam porque estão longe da Terra, mas porque estão caindo em volta dela.

E ao contrário: num foguete parado no espaço, longe de tudo, acelerando a $9{,}8$ m/s², você sente os pés pressionados contra o chão, exatamente como na Terra. Nenhuma experiência feita dentro de uma cabine pequena distingue a gravidade de uma aceleração. É o princípio da equivalência.

Agora acenda uma lanterna, na horizontal, dentro do foguete que acelera. Enquanto a luz atravessa a cabine, o foguete sobe, e a luz chega à parede oposta um pouco abaixo de onde saiu: dentro do foguete, a luz faz uma curva. Se a gravidade é indistinguível da aceleração, então a gravidade também curva a luz.

A gravidade é geometria

Einstein levou a ideia ao extremo: a gravidade não é uma força, é a forma do espaço e do tempo. Uma massa grande, como o Sol, curva o espaço-tempo à sua volta, e os corpos em queda livre, incluindo a luz, simplesmente seguem as linhas mais retas possíveis nesse espaço curvo, as geodésicas. A Terra gira em torno do Sol não porque é puxada, mas porque está andando “em linha reta” num espaço curvado pelo Sol.

Para escrever isso, Einstein precisou da geometria dos espaços curvos que Gauss tinha começado e Riemann tinha generalizado, e que ele não conhecia. Pediu ajuda ao amigo Marcel Grossmann e passou anos de tentativas e erros. Em 25 de novembro de 1915, apresentou à Academia Prussiana as equações de campo:

$$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}.$$

À esquerda, $G_{\mu\nu}$ descreve a curvatura do espaço-tempo; à direita, $T_{\mu\nu}$ descreve a matéria e a energia que estão ali. O físico John Wheeler resumiu: “a matéria diz ao espaço como se curvar; o espaço diz à matéria como se mover”. São dez equações entrelaçadas, e resolvê-las é difícil; mas, para campos fracos, elas dão de volta a gravitação de Newton.

O primeiro teste: Mercúrio

A órbita de Mercúrio não é uma elipse perfeitamente fixa: a elipse gira devagar em torno do Sol. Quase todo esse giro é explicado pela atração dos outros planetas, mas sobrava um resto de 43 segundos de arco por século que a física de Newton não explicava. Houve quem propusesse um planeta invisível, Vulcano, entre Mercúrio e o Sol.

Em novembro de 1915, Einstein calculou o efeito com as suas equações e encontrou exatamente 43 segundos de arco por século. Escreveu a um amigo que ficou dias “fora de si de alegria”, e que sentiu o coração bater mais forte.

O segundo teste: a luz desviada

Para um raio de luz que passa raspando no Sol, a teoria previa um desvio de

$$\alpha=\frac{4GM_\odot}{R_\odot c^2}.$$

Com $GM_\odot\approx1{,}327\times10^{20}$ m³/s² e o raio do Sol $R_\odot\approx6{,}96\times10^8$ m,

$$\alpha\approx\frac{4\cdot1{,}327\times10^{20}}{6{,}96\times10^8\cdot9\times10^{16}}\approx8{,}5\times10^{-6}\ \text{rad}\approx1{,}75''.$$

É o tamanho aparente de uma moeda vista a 3 km de distância. Para medi-lo, é preciso fotografar estrelas que aparecem ao lado do Sol, e comparar com a posição delas meses depois, à noite, quando o Sol já está em outro lugar do céu. Mas estrelas ao lado do Sol só se veem durante um eclipse total.

Os telescópios da expedição britânica em Sobral, no Ceará, preparados para o eclipse de 29 de maio de 1919.
Os telescópios da expedição britânica em Sobral, no Ceará, preparados para o eclipse de 29 de maio de 1919.Charles Davidson · Wikimedia Commons · domínio público

Sobral, 29 de maio de 1919

O eclipse de 29 de maio de 1919 era ideal: o Sol estaria diante de um grupo de estrelas brilhantes, as Híades. A faixa da totalidade passava pelo norte do Brasil e pela costa da África. A Real Sociedade Astronômica britânica mandou duas expedições: Arthur Eddington foi para a ilha do Príncipe, no golfo da Guiné, e Andrew Crommelin e Charles Davidson foram para Sobral, no Ceará. Os astrônomos do Observatório Nacional do Rio de Janeiro também estiveram em Sobral, para estudar a coroa solar.

No Príncipe, choveu de manhã, e as nuvens só se abriram no meio do eclipse; as fotos saíram fracas. Em Sobral, o céu limpou a tempo. Os 5 minutos de totalidade renderam as melhores chapas, e o desvio medido foi de cerca de $1{,}98''$, com uma margem de erro de uns $0{,}12''$. Junto com os dados do Príncipe, $1{,}61''$, os resultados ficavam perto do valor de Einstein e longe da metade, $0{,}87''$, que se esperava de um cálculo à moda de Newton.

Uma das chapas do eclipse de 1919, publicada no relatório de Dyson, Eddington e Davidson. As estrelas usadas na medida estão marcadas com traços.
Uma das chapas do eclipse de 1919, publicada no relatório de Dyson, Eddington e Davidson. As estrelas usadas na medida estão marcadas com traços.F. W. Dyson, A. S. Eddington e C. Davidson, Philosophical Transactions (1920) · domínio público

Em 6 de novembro de 1919, numa sessão conjunta da Royal Society e da Real Sociedade Astronômica, em Londres, sob um retrato de Newton, o astrônomo real Frank Dyson anunciou que a luz se desviava como Einstein tinha previsto. No dia seguinte, os jornais do mundo inteiro falavam do homem que tinha derrubado Newton. Seis anos depois, no Rio de Janeiro, Einstein agradeceu ao céu do Brasil.

O tempo também se curva

A relatividade geral prevê ainda que o tempo passa mais devagar onde a gravidade é mais forte. Perto da superfície da Terra, um relógio atrasa em relação a outro mais alto. Nos satélites do GPS, a 20 000 km de altura, os relógios adiantam uns 45 microssegundos por dia por estarem mais longe da Terra, e atrasam uns 7 pela velocidade. O saldo, 38 microssegundos por dia, é corrigido nos satélites. Sem a correção, o erro de posição cresceria uns 11 km por dia.

Exercício: qual seria o desvio de um raio de luz que passasse raspando em Júpiter, com GM ≈ 1,27 × 10¹⁷ m³/s² e raio de 7,0 × 10⁷ m?
$$\alpha=\frac{4\cdot1{,}27\times10^{17}}{7{,}0\times10^7\cdot9\times10^{16}}\approx8{,}1\times10^{-8}\ \text{rad}\approx0{,}017''.$$

Cem vezes menos que no Sol. Esse desvio foi medido em 2002, com radiotelescópios, quando Júpiter passou diante de um quasar.

Exercício: 38 microssegundos por dia é que fração de um dia? E quanto a luz anda nesse tempo?

Um dia tem $86\,400$ s, então a fração é $\frac{38\times10^{-6}}{86\,400}\approx4{,}4\times10^{-10}$, menos de meio bilionésimo. Em 38 microssegundos, a luz anda $3\times10^8\cdot38\times10^{-6}\approx11\,400$ m. Como o GPS calcula distâncias pelo tempo que o sinal leva, um erro de meio bilionésimo vira mais de 11 km.

Fontes: F. W. Dyson, A. S. Eddington e C. Davidson, “A determination of the deflection of light by the Sun’s gravitational field”, Philosophical Transactions of the Royal Society A 220 (1920) · Ildeu de Castro Moreira e Antonio Augusto Passos Videira (orgs.), Einstein e o Brasil (Editora UFRJ, 1995) · Einstein Online, relatividade geral.

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