Resolva a equação

$$\sqrt{x+2}=x.$$

O caminho usual é tirar a raiz elevando os dois lados ao quadrado:

$$\begin{aligned} \sqrt{x+2}=x\quad&\Longrightarrow\quad x+2=x^2\\ &\Longrightarrow\quad (x-2)(x+1)=0\\ &\Longrightarrow\quad x=2\ \text{ou}\ x=-1. \end{aligned}$$

As contas estão todas certas. A resposta não. Com $x=2$: $\sqrt{4}=2$, e a equação vale. Com $x=-1$: $\sqrt{1}=1$, que não é $-1$. A equação original tem uma solução, e o método encontrou duas. De onde veio o intruso?

Uma equação por linha

Quem resolve uma equação não faz contas com números: escreve uma sequência de equações, cada uma obtida da anterior. O que liga uma linha à seguinte não é um igual, é uma afirmação sobre as frases: “se esta é verdadeira, aquela também é”. A lógica tem dois sinais para isso.

  • $P\Rightarrow Q$, “$P$ implica $Q$”: sempre que $P$ é verdadeira, $Q$ também é. Mas $Q$ pode ser verdadeira sem que $P$ seja.
  • $P\Leftrightarrow Q$, “$P$ equivale a $Q$”: as duas são verdadeiras exatamente para os mesmos valores. A seta vale nos dois sentidos.

Na resolução de uma equação, a diferença é decisiva. Se cada passo é um $\Leftrightarrow$, a última linha tem exatamente as mesmas soluções que a primeira. Se algum passo é só $\Rightarrow$, a última linha pode ter soluções a mais. Se algum passo é só $\Leftarrow$, pode ter soluções a menos.

Passos que valem nos dois sentidos

Alguns passos são sempre reversíveis:

Passo Por que se pode voltar
somar o mesmo número aos dois lados basta subtrair de volta
multiplicar os dois lados por um número diferente de zero basta dividir de volta
trocar uma expressão por outra idêntica a identidade vale nos dois sentidos
aplicar uma função injetora, como $x\mapsto x^3$ ou $x\mapsto e^x$ cada resultado vem de um só valor

Outros não são:

Passo O que pode acontecer
elevar os dois lados ao quadrado ganhar soluções: de $a=b$ segue $a^2=b^2$, mas $a^2=b^2$ também vale se $a=-b$
multiplicar por uma expressão que pode ser zero ganhar soluções: os zeros da expressão
dividir por uma expressão que pode ser zero perder soluções: os zeros da expressão

Na equação do início, o passo de elevar ao quadrado foi um $\Rightarrow$ disfarçado. A equação $x+2=x^2$ é a pergunta “$\sqrt{x+2}$ é igual a $x$ ou a $-x$?”, e o $-1$ responde à segunda metade: $\sqrt{1}=1=-(-1)$. O intruso tem nome: raiz estranha. A única defesa é voltar à equação original e verificar.

Por que os livros escrevem ⇔

O capítulo 2 resolveu $x+\frac x2=5$ assim:

$$x+\frac x2=5\iff\frac{3x}2=5\iff 3x=10\iff x=\frac{10}3.$$

As setas duplas não são enfeite: dizem que nenhum passo multiplicou por zero nem elevou ao quadrado. Quando o leitor vê $\iff$, sabe que a verificação é opcional; quando vê $\Rightarrow$, sabe que ela é obrigatória. É uma notação que faz o trabalho de uma advertência.

Na prática escolar, as setas costumam sumir, e as linhas são apenas empilhadas. O aluno não vê diferença entre um passo seguro e um perigoso, e aprende a verificar a resposta “porque o professor manda”, sem saber que a verificação é exatamente o que transforma uma cadeia de $\Rightarrow$ numa resposta correta.

Exercício: ache a raiz estranha

Resolva $\sqrt{2x+3}=x$. Elevando ao quadrado ($\Rightarrow$): $2x+3=x^2$, $x^2-2x-3=0$, $(x-3)(x+1)=0$, $x=3$ ou $x=-1$. Verificando: com $x=3$, $\sqrt9=3$, serve. Com $x=-1$, $\sqrt1=1\neq-1$, é estranha. A solução é só $x=3$.

Exercício: onde foi parar o zero?

Um aluno resolveu $x^3=4x$ dividindo por $x$: $x^2=4$, $x=\pm2$. Faltou uma solução. O passo correto é fatorar, que é um $\Leftrightarrow$: $x^3-4x=0\iff x(x^2-4)=0\iff x(x-2)(x+2)=0\iff x\in\{-2,0,2\}$. A divisão por $x$ supôs, sem dizer, que $x\neq0$, e perdeu exatamente o caso $x=0$.

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