Paredes, esquadros, folhas de papel: o mundo construído está cheio de ângulos retos.

Quem descobriu

O ângulo reto foi usado na prática por egípcios, babilônios, indianos e chineses muito antes de ter definição. A tábua babilônica Plimpton 322 (c. 1800 a.C.) lista ternos de números que formam triângulos retângulos, como 45, 60 e 75 — o triângulo 3-4-5 ampliado 15 vezes —, e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma figura famosa sobre o triângulo 3-4-5. A definição rigorosa é de Euclides (definição I.10): quando uma reta encontra outra formando ângulos adjacentes iguais, cada um deles é reto, e a reta é perpendicular à outra.

Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público

A história

Costuma-se contar que os “esticadores de corda” egípcios faziam ângulos retos com uma corda de 12 nós, formando o triângulo 3-4-5. É uma história bonita, mas não há documento egípcio que a confirme: ela surgiu como hipótese de historiadores do século XIX. O que se sabe com segurança é que os construtores egípcios produziam ângulos retos com enorme precisão.

A figura de Euclides para o teorema de Pitágoras (proposição I.47) com as letras chinesas: na tradução dos Elementos feita por Matteo Ricci e Xu Guangqi em 1607, os rótulos gregos viraram os dez troncos celestes.
A figura de Euclides para o teorema de Pitágoras (proposição I.47) com as letras chinesas: na tradução dos Elementos feita por Matteo Ricci e Xu Guangqi em 1607, os rótulos gregos viraram os dez troncos celestes.Ilustração didática original do blog, redesenhada a partir de figura do acervo Euler’s Eyes.

Euclides fez do ângulo reto o padrão de comparação de todos os ângulos e afirmou, no quarto postulado, que todos os ângulos retos são iguais. A palavra perpendicular vem do latim perpendiculum, o fio de prumo.

No dia a dia

  • Regra 3-4-5 dos pedreiros. Para conferir o esquadro de uma parede, marca-se 3 m num lado, 4 m no outro e verifica-se se a diagonal mede 5 m.
  • Prumo e nível. O prumo dá a vertical, o nível dá a horizontal, e as duas são perpendiculares.
  • Papel e telas. Folhas A4, fotos e telas têm cantos retos; isso permite empilhar, encaixar e alinhar.
  • Cruzamentos. Ruas que se cruzam em ângulo reto dão mais visibilidade aos motoristas.

Fontes: Elementos, definição I.10 · Matemática babilônica: Plimpton 322 (MacTutor) · Matemática chinesa (MacTutor).

Teoria e construções

DefiniçãoRetas perpendiculares

Duas retas são perpendiculares (símbolo $\perp$) se, e somente se, são concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes:

$$a \perp b \iff a \cap b = \lbrace P \rbrace \ \text{ e } \ a_1\hat{P}b_1 \equiv a_1\hat{P}b_2,$$

em que $a_1$ é uma das semirretas de $a$ com origem $P$, e $b_1$, $b_2$ são as semirretas opostas de $b$ com origem $P$.

Duas semirretas (ou dois segmentos) são perpendiculares se estão contidas em retas perpendiculares e têm um ponto comum. Um ângulo $a_1\hat{P}b_1$ é reto se $a_1 \perp b_1$.

DefiniçãoRetas oblíquas

Duas retas concorrentes que não são perpendiculares são oblíquas.

TeoremaExistência do ângulo reto

Existe ângulo reto.

Ver a demonstração

Tome uma reta $r$, um ponto $O$ dela e uma semirreta $r_1$ de $r$ com origem $O$. Em semiplanos opostos em relação a $r$, tome $P$ e $Q$ com $r_1\hat{O}P \equiv r_1\hat{O}Q$ (1) e $\overline{OP} \equiv \overline{OQ}$ (2). O segmento $\overline{PQ}$ corta $r$ num ponto $X$.

  • Se $X = O$, os ângulos $P\hat{X}r_1$ e $Q\hat{X}r_1$ são adjacentes, suplementares e congruentes: são retos.
  • Se $X \neq O$, por LAL ((2), (1) e $\overline{OX}$ comum), $\triangle POX \equiv \triangle QOX$, logo $P\hat{X}O \equiv Q\hat{X}O$: de novo dois ângulos adjacentes suplementares congruentes, isto é, retos.