Quatro teoremas completam as propriedades trigonométricas dos triângulos: um decompõe cada lado nas projeções dos outros dois, dois dão a área e o último, a lei das tangentes, relaciona somas e diferenças de lados com somas e diferenças de ângulos.

A história

A lei das tangentes foi publicada pelo dinamarquês Thomas Fincke em 1583, no mesmo livro em que ele deu nome à tangente (veja o capítulo VIII), e François Viète também a usava na mesma época. Ela se tornou muito prática na era das tábuas de logaritmos: como só envolve quocientes e produtos, permite resolver um triângulo conhecendo dois lados e o ângulo entre eles sem somar quadrados, o que a lei dos cossenos exigiria. Com logaritmos, cada multiplicação ou divisão virava uma soma ou subtração de números tirados da tábua.

Com logaritmos, multiplicar é somar: é o princípio das tábuas de Napier e da régua de cálculo, que deixou a lei das tangentes tão prática.
  1. Nasce na torre de Merchiston, perto de Edimburgo, filho de um nobre de 16 anos.
  2. Entra aos 13 anos na universidade mais antiga da Escócia e sai sem diploma.
  3. Estuda no estrangeiro, provavelmente na França ou nos Países Baixos. Os documentos não dizem onde; o ponto no mapa é só indicativo.
  4. Vive no castelo que construiu nas terras da família. Escreve sobre o Apocalipse e começa os cálculos dos logaritmos.
  5. Assina com Robert Logan um contrato para achar um tesouro escondido no castelo, em troca de um terço dele.
  6. Senhor de Merchiston. Publica os logaritmos (1614), recebe Briggs (1615), publica a Rabdologia e morre em 1617.
  7. No Gresham College, Henry Briggs lê o livro e parte para Edimburgo para conhecer o autor.
  8. Kepler vê as tábuas, escreve ao barão sem saber que ele morreu e usa os logaritmos nas Tábuas Rudolfinas.
Os lugares de Napier na Escócia, e as viagens das suas tábuas até Londres e até Kepler. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

Fontes: Fincke (MacTutor) · Viète (MacTutor) · Napier (MacTutor).

No dia a dia

  • Terrenos. Um terreno triangular com lados de 40 m e 30 m formando $60^\circ$ tem área $\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 \operatorname{sen} 60^\circ \approx 519{,}6$ m².
  • Áreas irregulares. Agrimensores e programas de mapas dividem qualquer polígono em triângulos e somam as áreas; é assim que se calcula a área de um lote ou de uma fazenda.
  • Obras e reformas. Para comprar piso ou grama para um canteiro triangular, basta medir dois lados e o ângulo entre eles.
A área de um terreno triangular a partir de dois lados e do ângulo entre eles.

Teoria

Teorema das projeções

TeoremaTeorema das projeções

$$a = b\cos\hat{C} + c\cos\hat{B} \qquad b = a\cos\hat{C} + c\cos\hat{A} \qquad c = a\cos\hat{B} + b\cos\hat{A}$$
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Provemos a primeira; as outras são análogas. Seja $\overline{AD}$ a altura relativa a $\overline{BC}$.

1º caso: $\hat{B} < 90^\circ$ e $\hat{C} < 90^\circ$. $D$ está entre $B$ e $C$. No triângulo retângulo $ABD$, $BD = c\cos\hat{B}$; no triângulo retângulo $ADC$, $DC = b\cos\hat{C}$. Então $a = BD + DC = c\cos\hat{B} + b\cos\hat{C}$.

2º caso: $\hat{B}$ obtuso (o caso de $\hat{C}$ obtuso é simétrico). $D$ cai no prolongamento de $\overline{CB}$, além de $B$; $BD = c\cos(180^\circ - \hat{B}) = -c\cos\hat{B}$ e $DC = b\cos\hat{C}$. Então $a = DC - DB = b\cos\hat{C} + c\cos\hat{B}$.

3º caso: $\hat{B}$ ou $\hat{C}$ reto. $D$ coincide com o vértice do ângulo reto e a fórmula continua valendo, pois $\cos 90^\circ = 0$.

Área em função de dois lados e do ângulo entre eles

TeoremaÁrea do triângulo

Em qualquer triângulo, a área é igual ao semiproduto de dois lados multiplicado pelo seno do ângulo que eles formam:

$$S = \frac{1}{2}bc\operatorname{sen}\hat{A} = \frac{1}{2}ac\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{1}{2}ab\operatorname{sen}\hat{C}$$
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Seja $\overline{BD}$ a altura relativa ao lado $\overline{AC}$. Se $\hat{A} < 90^\circ$, no triângulo retângulo $ADB$ temos $DB = c\operatorname{sen}\hat{A}$; se $90^\circ < \hat{A} < 180^\circ$, $D$ fica no prolongamento de $\overline{CA}$ e $DB = c\operatorname{sen}(180^\circ - \hat{A}) = c\operatorname{sen}\hat{A}$. Em ambos os casos (e também se $\hat{A} = 90^\circ$),

$$S = \frac{AC \cdot DB}{2} = \frac{b \cdot c\operatorname{sen}\hat{A}}{2}.$$

As outras duas fórmulas se provam do mesmo modo.

Com dois lados fixos, a área $S = \frac{1}{2}bc\operatorname{sen}\hat{A}$ é máxima quando o ângulo entre eles é reto (aqui, $\frac{1}{2}bc = 1$).

Área em função do raio da circunferência circunscrita

TeoremaÁrea e raio circunscrito

Em qualquer triângulo, a área é igual ao produto dos três lados dividido pelo quádruplo do raio da circunferência circunscrita:

$$S = \frac{abc}{4R}$$
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Pela lei dos senos, $\operatorname{sen}\hat{A} = \dfrac{a}{2R}$. Substituindo em $S = \dfrac{bc}{2}\operatorname{sen}\hat{A}$, vem $S = \dfrac{bc}{2} \cdot \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$.

Lei das tangentes

TeoremaLei das tangentes

Em qualquer triângulo não isósceles valem:

$$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}}$$$$\frac{a + c}{a - c} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} + \hat{C}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} - \hat{C}}{2}}$$$$\frac{b + c}{b - c} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}}$$

(nas fórmulas, os lados das diferenças devem ser desiguais, e nenhum dos ângulos envolvidos pode ser reto para que as tangentes existam).

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Da lei dos senos, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{\operatorname{sen}\hat{A}}{\operatorname{sen}\hat{B}}$. Pela propriedade das proporções (“a soma está para a diferença…”):

$$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\operatorname{sen}\hat{A} + \operatorname{sen}\hat{B}}{\operatorname{sen}\hat{A} - \operatorname{sen}\hat{B}} = \frac{2\operatorname{sen}\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}\cos\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}}{2\operatorname{sen}\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}\cos\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}}.$$

As outras duas são provadas de modo análogo.

Os exercícios desta seção são os de números 393 a 399 da lista do capítulo.